A-0-4微分方程(1/2)

2023-08-27 14:59 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

0.4.1 微分方程定义

表示函数，函数导数，以及自变量之间关系的方程，叫做微分方程。微分方程可以表示成

$F(x%2Cy%2Cy'%2C%5Ccdots%2Cy%5E%7B(n)%7D)%3D0%E2%80%8B$

其中 $y%5E%7B(n)%7D$ 表示 $y$ 的 $n$ 阶导数。当方程导数的最高阶为 $n$ 阶时，我们称之为 $n$ 阶微分方程。满足上述关系的函数 $y%3D%5Cvarphi(x)$ 称为方程的解。

在物理竞赛中，我们遇到的方程基本都是一阶和二阶的。

0.4.2 可分离变量的微分方程

形如

$%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7Bf(x)%7D%7Bg(y)%7D$

的微分方程，我们称它是可分离变量的。可以写成

$g(y)dy%3Df(x)dx$

的形式。然后直接积分可解

$%5Cint%20g(y)dy%3D%5Cint%20f(x)dx$

例如

放射性元素单位时间内衰变的原子数，与剩余原子数 $M$ 满足：

$%5Cdfrac%7BdM%7D%7Bdt%7D%3D-%5Clambda%20M%EF%BC%8C%EF%BC%88M%3E0%EF%BC%89$

第一步，分离变量：

$%5Cdfrac%7B1%7D%7BM%7DdM%3D-%5Clambda%20dt$

第二步，分别求不定积分

$%5Cint%5Cdfrac%7B1%7D%7BM%7DdM%3D%5Cint(-%5Clambda%20dt)$

$%5Cln%20M%3D-%5Clambda%20t%2BC_1$

第三步，化简得

$M%3DCe%5E%7B-%5Clambda%20t%7D$

其中常数C与边界条件有关，比如已知当 $t%3D0$ 时， $M%3DM_0$ .代入得

$C%3DM_0%EF%BC%8CM%3DM_0e%5E%7B-%5Clambda%20t%7D$

我们在物理竞赛中遇到的大部分微分方程，都是可以分离变量的。剩下那些，我们可以通过一些方法，将其转化为可分离变量的方程。

0.4.3 齐次方程

形如

$%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cvarphi(%5Cdfrac%20%7By%7D%7Bx%7D)$

的微分方程，我们称它是齐次方程。其中 $x$ , $y$ 扩大相同倍数时，方程形式不变。

为了解齐次方程，我们可以引入一个新的函数 $u%3D%5Cdfrac%7By%7D%7Bx%7D$ ，则

$y%3Dux$ ， $%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Du%2Bx%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D$

代回原式可得

$u%2Bx%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3D%5Cvarphi(u)$

这是一个可分离变量的方程：

$%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Cvarphi(u)-u%7D%7Bx%7D$

先解出 $u$ ，再代入 $y%3Dux$ 。例如

若探照灯曲面对称轴上一点，发出的所有光线经过探照镜反射后，变为平行光。则过对称轴的截面曲线满足：

$%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7By%7D%7Bx%7D%2B%5Csqrt%7B(%5Cdfrac%7By%7D%7Bx%7D)%5E2%2B1%7D$

令 $u%3D%5Cdfrac%7By%7D%7Bx%7D$ ，原方程可变形为

$%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D%7D%7Bx%7D$

分离变量得

$%5Cdfrac%7Bdu%7D%7B%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D%7D%3D%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D$

积分（左式积分查积分公式表，或者令 $u%3D%5Ctan%5Ctheta$ 换元积分，

$%5Cint%5Cdfrac%7B%5Ccos%20%5Ctheta%7D%7B%5Ccos%5E2%5Ctheta%7Dd%5Ctheta%3D%5Cint%5Cdfrac%7B1%7D%7B1-%5Csin%5E2%5Ctheta%7Dd(%5Csin%20%5Ctheta)$

$%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint(%5Cdfrac%7B1%7D%7B1-%5Csin%20%5Ctheta%7D)d(%5Csin%20%5Ctheta)%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint(%5Cdfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Csin%20%5Ctheta%7D)d(%5Csin%20%5Ctheta)%EF%BC%89$

得

$%5Cln(u%2B%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D)%3D%5Cln%20x%2BC_1$

令

$C_1%3D-%5Cln%20C$

则有

$u%2B%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D%3D%5Cdfrac%7Bx%7D%7BC%7D$

$(%5Cdfrac%7Bx%7D%7BC%7D-u)%5E2%3Du%5E2%2B1$

$%5Cdfrac%7Bx%5E2%7D%7BC%5E2%7D-%5Cdfrac%7B2xu%7D%7BC%7D%3D1$

代入 $y%3Dux$ 得

$x%5E2%3D2C(y%2B%5Cdfrac%7BC%7D%7B2%7D)$

为抛物线方程。

0.4.4 一阶线性微分方程

形如

$%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2BP(x)y%3DQ(x)$

的微分方程，我们称它是一阶线性微分方程，一阶指的是导数的最高阶，线性代表y和y各阶导数的最高次数都是1。

我们让方程两边同时乘以一个函数 $R(x)$ ：

$R(x)%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2BR(x)P(x)y%3DR(x)Q(x)$

如果方程左式可以写成 $%5Cdfrac%7Bd%5BR(x)y%5D%7D%7Bdx%7D$ 的形式，则原式可化为变量可分离的方程。

故我们令

$R(x)%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2BR(x)P(x)y%3D%5Cdfrac%7Bd%5BR(x)y%5D%7D%7Bdx%7D%3DR(x)%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2B%5Cdfrac%7BdR(x)%7D%7Bdx%7Dy$

有

$%5Cdfrac%7BdR(x)%7D%7Bdx%7D%3DR(x)P(x)$

解得

$R(x)%3De%5E%7B%5Cint%20P(x)dx%7D$

（称为积分因子）则

$%E2%80%8By%3Due%5E%7B-%5Cint%20P(x)dx%7D$

$%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7De%5E%7B-%5Cint%20P(x)dx%7D-uP(x)e%5E%7B-%5Cint%20P(x)dx%7D$

代入原式得

$%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7De%5E%7B-%5Cint%20P(x)dx%7D%3DQ(x)$

解得

$u%3D%5Cint%20Q(x)e%5E%7B%5Cint%20P(x)dx%7Ddx%2BC$

方程的解为：

$y%3De%5E%7B-%5Cint%20P(x)dx%7D(%5Cint%20Q(x)e%5E%7B%5Cint%20P(x)dx%7Ddx%2BC)$

例如

含容正弦交流电路中回路电流满足：

$E_0%5Csin%5Comega%20t-L%5Cdfrac%7Bdi%7D%7Bdt%7D-iR%3D0$

方程化简为

$%5Cdfrac%7Bdi%7D%7Bdt%7D%2B%5Cdfrac%7BR%7D%7BL%7Di%3D%5Cdfrac%7BE_0%7D%7BL%7D%5Csin%5Comega%20t$

代入公式得：

$i(t)%3De%5E%7B-%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D(%5Cint%5Cfrac%7BE_0%7D%7BL%7De%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20t%20dt%2BC)$

其中

$%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20tdt$

进行两次分部积分，可得

$%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20tdt%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7Dd(%5Ccos%5Comega%20t)$

$%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5Be%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Ccos%5Comega%20t-%5Cint%20%5Ccos%5Comega%20td(e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D)%5D$

$%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5Be%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Ccos%5Comega%20t-%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7D%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Ccos%5Comega%20tdt%5D$

$%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5Be%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Ccos%5Comega%20t-%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7Dd(%5Csin%5Comega%20t)%5D$

$%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5C%7Be%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Ccos%5Comega%20t-%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5Be%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20t-%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7D%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20tdt%5D%5C%7D$

$(1%2B%5Cfrac%7BR%5E2%7D%7BL%5E2%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%5E2%7D)%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20tdt%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7De%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Ccos%5Comega%20t%2B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%5E2%7De%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20t$

即

$%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20tdt%3D%5Cdfrac%7BLe%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%7D%7B%5Comega%5E2L%5E2%2BR%5E2%7D(-%5Comega%20L%5Ccos%5Comega%20t%2BR%5Csin%5Comega%20t)$

故

$i(t)%3D%5Cdfrac%7BE_0%7D%7B%5Comega%5E2L%5E2%2BR%5E2%7D(-%5Comega%20L%5Ccos%5Comega%20t%2BR%5Csin%5Comega%20t)%2BCe%5E%7B-%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D$

这类微分方程在物体竞赛题中出现的不多，有同学自己改编题目的时候，会遇到这类方程。

3.临界阻尼时： $n%3Dk$

$x%3De%5E%7B-nt%7D(C_1%2BC_2t)$

对应图像与上图类似。

第37届复赛第3题，考察的是 $R-L-C$ 振荡电路，对应方程也是一个常系数齐次二阶线性微分方程。虽然题目中给出了对应解的形式，但是如果没有提前研究过这类问题，还是不太好入手的。

0.4.7 练习

长 $L$ 的均匀弹性绳 $AB$ 自由伸直地放在光滑水平桌面上，绳的 $A$ 端固定。 $t%3D0$ 时，一小虫开始从 $A$ 端出发以相对其足下绳段的匀速度 $u$ 在绳上朝 $B$ 端爬去，同时绳的 $B$ 端以相对桌面的匀速度 $v$ 沿绳长方向运动，小虫的相对地面的位移 $x$ 与时间 $t$ 满足 $%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3Du%2B%5Cdfrac%7Bvx%7D%7BL%2Bvt%7D$ ，求任一时刻小虫位置。