有限元理论篇介绍：弹性力学平面应力、应变问题

      上世纪50年代发展起来的有限单元法，是将连续的弹性体划分为很多有限大小的单元，并在结点上联结起来，然后使用结构力学解法或变分解法使用电子计算机进行求解。后来发展和应用到了其他固体力学、流体力学等学科并达到了足够的精度。

      到了近现代很多大型、复杂的结构大量涌现，需要对其进行严格而精确的分析，这就需要使用弹性力学、其他固体力学的理论以及相应的有限单元法。因此作为固体力学基础的弹性力学及其有限单元法成为进行结构分析的非常重要的理论。

      我们会对弹性力学及其有限元方法的基本理论进行持续的更新，以对在结构分析中理论存在的问题解惑及进行有限元程序开发的人员作为参考。

1 平面应力问题与平面应变问题 

在理论研究及工程实际应用中，如若能将空间问题简化为近似的平面问题，在满足精度要求的情况下，分析和计算的工作量将大大减少。

1.1  平面应力问题 

第一类平面问题是平面应力问题。假设下图中一块很薄的板，厚度为𝛿，仅在板边上受力和约束，且力的方向平行于板面不随板的厚度变化而变化。以薄板中面为 xy 面，z 轴垂直于中面，考虑上述条件，板的两面

 
𝜎𝑧 = 0, 𝜏𝑧𝑥 = 0, 𝜏𝑧𝑦 = 0 

由于板很薄，外力不随厚度而变化，因此可认为薄板各处均符合上式。考虑到切应力互等性，此问题只剩下 3 个平行于 xy 面独立的应力分量：𝜎𝑥,  𝜎𝑦,  𝜏𝑥𝑦 

1.2 平面应变问题 

 第二类平面问题是平面应变问题，也称为平面位移问题。假设有图中很长的圆柱体，其横截面形状一致且不随长度变化而变化，在柱面上受到平行于横截面的力或约束且不随长度变化而变化。以长度方向为 z 轴，所有位移分量均不随 z 轴而变化，即w = 0，因此该方向应变𝜀𝑧 = 0。又因为位移矢量平行 xy 面且由对称条件可知𝜏𝑧𝑥 = 0, 𝜏𝑧𝑦 = 0。即𝛾𝑧𝑥 = 0, 𝛾𝑧𝑦 =0。此问题只剩下 3 个平行于 xy 面独立的应变分量𝜀𝑥,  𝜀𝑦,  𝛾𝑥𝑦， 

在实际应用中，很长的管道、隧道、挡土墙等均可近似视为此问题。

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