数学读物

  数学书写得跟小说一样，是我对一本数学书的最高评价，也是此次推荐书单的入选标准。

 数学读物：

1.《烧掉数学书》——杰森·威尔克斯

正如书名，本书旨在从无到有创造数学概念，在这个过程中一切都是那么自然。初、高中即可读。

记忆最深的是用f(x+y)=f(x)+f(y)引出正比例函数，用f(x+y)=f(x)f(y)引出指数函数，用f(xy)=f(x)+f(y)引出对数函数，用f(xy)=f(x)f(y)引出幂函数。这其实是从抽象的同态引出具体的函数，这其实是一种数学研究方法！看见这种方法是第一步，而这本书让我看见了这种方法，知道到这种方法是第二步，这可以使得你明白一些莫名其妙的操作到底是想干什么？

譬如群表示论中，有个问题是“求加法群的1次实表示”，其实质就是在问哪个函数满足f(x+y)=f(x)f(y)，那一个看似复杂的问题不就归结于简单的问题了吗？那这个问题不就是想将抽象的群元素表示成具体的函数吗？那哪怕问题变为求5次表示，也是一个道理，想干什么？还是想将抽象的变为具体的来进行研究啊。知道自己在干什么很重要。

2.《数学：确定性的丧失》——莫里斯·克莱因

如果只能推荐一本关于数学史的书，那我一定推荐这本。初中即可读。

数学历史的长河是逻辑的逆流。从逻辑上讲，现代数学的基石是集合论公理化，我们可以从集合论公理化开始构建起整个数学大厦；但从历史上讲，集合的概念是近代（19c）才出现的，我们现在这座数学大厦其实是构建于一座空中楼阁，因为站不稳，所以往下打地基，直到打到了集合论公理化这块基石。

Math：={x | x？} 数学其实是一个集合，其元素是xxx为什么，而数学确定性的丧失就在于一些问题的提出。譬如，实无限在现实中存在吗？为什么可以使用排中律？

这本数学史的书，其实更可贵的在于引起了我对数学本身的思考。

3.《数学天书中的证明》——艾格纳、齐格勒

微积分/数学分析读物：

1.《普林斯顿微积分读本》——阿德里安·班纳

这本书真就是自学或者入门微积分者的福音，高中、大一即可读，苦口婆心的程度就像是你小时候，你妈妈在旁边教你学算数。不一样的是，大多数家长不明白孩子为什么不懂那些明明是很简单的东西，但这本书懂你，他知道你哪里不懂，用最接地气的话跟你解释，用不严谨换你听懂。其实我觉得微积分这么做是对的，微积分嘛，又不是数学分析，适当放弃些严谨反而更加让人受益。

2.《重温微积分》——齐民友

3.《陶哲轩实分析》——陶哲轩

数学分析教材都是从实数的构造开始讲起的，构造方法有戴德金分割，无限小数，纯公理化，cantor列。前三种方法我都觉得不是很舒服，一度让我不想继续学数分，直到看到这本书，用皮亚诺公理创造自然数集，用自然数的二元关系创造整数集，用整数集的二元关系创造有理数集，最后利用有理数的收敛序列创造实数集，最后一步也就是cantor（康托尔）列法，或称cauchy（柯西）数列法。其美妙程度真就是本玄幻小说，主角从一个废材一步步变为最强，封号“实数完备集”。

这本书可以作为数分的前置教材，如果预备了抽代的基础知识（二元关系，等价类），食用效果更加。

4.《复分析：可视化方法》——齐民友译

通过这本书认识齐老的，翻译质量杠杠的。

翻开此书，就像在看几何书，不愧“可视化”三个字。对于复数的理解多了，你会觉得你掌握了一种高维打击的工具，因为复数将二维看作了一维。这本有一定难度，学过微积分和线代再看。

线性代数/抽象代数读物：

1.《线性代数及其应用》——戴维·C·雷

鄙人出过系列视频，推荐语就在第一节，不再赘述。大一即可读。

2.《Algebra done right》——Sheldon Axler

可以这么说，《线性代数及其应用》是从矩阵角度切入讲线代的，而《Algebra done right》是从变换角度切入讲线代的。第一本更适合入门，图多，几何化方便理解，而第二本更适合学过线代的，虽然抽象些，但更加严谨，因为角度不一，两本可谓相辅相成。

3.《数学思维方式与创新》——丘维声

看书名会以为是讲元数学的，其实是讲抽代的，b站有丘老的讲解视频。从星期将365天划分为周一到周日开始讲起，引入modn，这期间就讲完了二元关系、等价类这些，在看《陶哲轩实分析》前可以先把这些看了。

4.《数学女孩5——伽罗瓦理论》——结城浩

上期写过这本的推荐语，里面的鬼脚图讲的真心不错。学抽代就是积累例子，例子多了抽代就简单了。

5.《Algebra：chapter 0》——Paolo Aluffi0

ps：鄙人有意出《陶哲轩实分析》的系列视频。有点墨水可以做注了。