中值点证明题-零点定理和罗尔定理？辅助函数构造？

一、经典题目

二、重温理论 1.零点定理 设f(x)在[a,b]连续，f(a)与f(b)异号，即f(a)f(b)<0，则存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)=0。 2.罗尔定理 设f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=0。 3.经典的辅助函数构造 对于典型的f'(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0的中值点证明题，应该构造

然后验证某两点a和b满足F(a)=F(b)，对F(x)在[a,b]用罗尔定理化简即可证明结论。 提示: 即使有些情况的形式并不一定满足f'(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0的标准形式，也可以化成标准形式来构造。比如要证明f'(ξ)+f(ξ)+ξ+1=0，考虑到变形为[f(ξ)+ξ]'+[f(ξ)+ξ]=0，所以构造g(x)=e^x[f(x)+x]。 三、详细分析 题中两个极限很容易得出f(0)=f(1)=0，以及

1.第一问 写出两个导数的极限定义容易分析出x=0的右某小邻域内有一点x₁使得f(x₁)>0，x=1的左某小邻域内有一点x₂使得f(x₂)<0，所以f(x)在[x₁,x₂]上利用罗尔定理即可证明存在ξ∈(x₁,x₂)⊂(a,b)使得f(ξ)=0，第一问得证。 2.第二问 对于f''(η)=f(η)可以整理得[f'(η)-f(η)]'+[f'(η)-f(η)]=0，套用构造辅助函数的结论，得

由于F(0)≠F(1)，不能直接对F(x)在[0,1]利用罗尔定理，这怎么办呢？ 我们可以在F(x)的基础上，迫使f'(x)-f(x)=0成立，看看有没有启发，从而利用构造辅助函数的结论再构造

根据题目和第一问已经得知f(0)=f(ξ)=f(1)=0，已经有三个点的函数值相等，所以考虑分别对G(x)在[0,ξ]和[ξ,1]上利用两次罗尔定理，从而得到η₁和η₂分别∈(0,ξ)和(ξ,1)使得G'(η₁)=0和G'(η₂)=0，整理化简得f'(η₁)-f(η₁)=0和f'(η₂)-f(η₂)=0，从而发现F(η₁)=F(η₂)=0，所以对F(x)在[η₁,η₂]上利用罗尔定理，化简后即可证明结论。 四、欢迎讨论 如果见到可以用此类方法解决的，欢迎分享。对本次内容有什么见解和疑问，也欢迎在评论区发表观点。