高考考完，开更！

从本节起开始复变函数之旅。我跳过了二元函数的部分，对此没有太大的影响。当然，后续会有少量对二元函数的涉及，我就不详细补充了。需要这些部分知识的同学可以花少量时间自学得到。

从一元函数到场

我们知道，一元函数是指从数集到数集的映射。特别地，当两数集为同一个时，我们称这个映射为一个变换。考虑

则我们可以把它看作把数轴上每个点对应到其上的另一个点：

现在把视野放宽，我们已经考虑了数轴上的对应，不妨考虑一下平面直角坐标系到它自己的对应，既平面上每一点对应到平面上另一点：（这里仍然考虑整个平面）

那么显然这个映射可以表示成：

我们称这样的映射为一个“场”（field）。

场的表示方法

我们知道表示函数一般是在平面直角坐标系中画出图形，输入为实数，输出为实数，即输入是一维，输出也是一维。图形表示为二维。但是，对于场来说，它的输入是数对，输出也是数对，占到了四个维度。也就是说，人类这样的三维生物不能直接画出场的图形。但是我们有一些间接的表示法，下面着重介绍一个。

这是我最喜欢的一种方法。我们考虑平面上的直线集：

也就是：

接着，根据想要表示的场把这些直线上的每一点映射到它对应的点上（计算时按直线一条一条算），如果映射后每一条直线上的点能保持在一条连续曲线上，我们就能从最终图像上看出这个场是如何作用于空间使之变化的。例如：

很容易看出上面的场把空间进行了翻转。但没有使空间产生扭曲。

而下面这个场：

就明显扭曲了空间。剧透一下，这个场表示的是“二次函数”的图像。

除了这样的表示法，还有各种效果更令人惊叹的方法。例如，把平面上的每个点染色，不同的点拥有不同的色调和亮度。接着，考虑平面上每一个输入点对应地输出点，用它输出点对应的颜色染上输入点，这样我们就能直观地看出每个点在映射后去了哪里。例如：

同样是染色，还有三维版本：（去掉了亮度，多出了高度）

又比如向量场表示法：

有兴趣的同学可以自己了解。

关于本章的主题

我们本章会学习复变函数，这是一种特殊的场。就像我们喜欢研究处处可导的实变函数一样，我们也喜欢研究处处“可导”的复变函数。而且，处处“可导”的复变函数要拥有比可导实变函数更加完美的兴致，这让众多数学家认为复变函数论是数学中最美的一门分支。这也是为什么我这么急切地想介绍复变函数的原因。