视频 BV1By4y1a7tc 解析
视频中
提到的定理
证明
AB
=1/2(DB+CB)-1/2(DA+CA)
CD
=1/2(BD+AD)-1/2(BC+AC)
OA-OC-OD+OB
＝OB-OC-OD+OA
即CA-BD
＝CB-AD
即(CA-BD)²
＝(CB-AD)²
即AC²+BD²-2CA·BD
＝BC²+AD²-2CB·AD
即2(CB·AD-CA·BD)
=(-BD²+BC²+AD²-AC²)
即1/2(CB·AD-CA·BD)
=1/4(AD²+BC²-AC²-BD²)
cosθ
＝|cos<AB，CD>|
＝|AB·CD|
/(|AB||CD|)
＝1/4|(DB+CB)-(DA+CA))
((BD+AD)-(BC+AC)|
/(|AB||CD|)
＝1/4|(DB+CB-DA-CA)
(BD+AD-BC-AC)|
/(|AB||CD|)
＝1/4|-BD²+DB·AD-DB·BC-DB·AC
+CB·BD+CB·AD+BC²-CB·AC
-DA·BD+AD²+DA·BC+DA·AC
-CA·BD-CA·AD+CA·BC-AC²|
/(|AB||CD|)
＝|1/4(AD²+BC²-AC²-BD²)
+1/2(CB·AD-CA·BD)|
/(|AB||CD|)
＝|1/4(AD²+BC²-AC²-BD²)
+1/4(AD²+BC²-AC²-BD²)|
/(|AB||CD|)
=|(AD²+BC²)-(AC²+BD²)|
/(2|AB||CD|)
得证
ps.
上述证明过程
有序字母表向量
视频中题
α，β，γ∈(0,π/2]
cosβ＜cosγ＜cosα
即β＞γ＞α
详见
