高中数学 圆锥曲线

同学们在学习圆锥曲线的时候，往往只知道它的方程，但在几何上看，它们是怎么回事呢？为什么叫作圆锥曲线呢？

几何截面上看

用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections）。通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：

1) 当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2) 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。

3) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。

5) 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。

6) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

7）当平面与二次锥面的两侧都不相交，且过圆锥顶点，结果为一点。

注意，上述曲线类中不含有二次曲线：两平行直线。

证明两种定义的等价性

由比利时数学家G.F.Dandelin 1822年得出的冰淇淋定理证明了圆锥曲线几何定义与焦点-准线定义的等价性。

即有一以Q为顶点的圆锥（蛋筒），有一平面π'（你也可以说是饼干）与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面π'及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个（或者另一个在无穷远处），则切点为焦点。又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面π与π'之交为直线d（曲线为圆时d为无穷远线），则d为准线。

图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。

证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。设平面π′与π的交角为α，圆锥的母线（如PQ）与平面π的交角为β。设P到平面π 的垂足为H，H到直线d的垂足为R，则PR为P到d的垂线（三垂线定理），而∠PRH=α。因为PE、PF同为圆球之切线，得PE=PF。

如此则有：PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH

其中：PF/PR=sinα/sinβ为常数。

好了，以上就是关于圆锥曲线的小知识，相信大家都对圆锥曲线有了更深的理解！