补充一个视频中的积分过程（二年级教学）
勘误一个上期中的问题：有多处地方将写成了
。
本期是数学杂谈，以后我会偶尔在浅谈高等数学中穿插一些数学杂谈；之前那个自然数幂和的也算吧，但过了一个月我就立刻发现自己实在见识短浅。自然数幂和水很深，建议先学高数，我已经将其搁置了。B站上有不少UP主将这一话题做得很透彻。
这一期是我鸽了很久的，当时我在@混数魔王----雨殇的视频[manimgl]如何优雅而严谨的求圆的面积?下方留言说要更新，现在各位终于等到了。配图均来源于该UP，且已经得同意。知道不定积分定义就能看了。
方法一：直角坐标积分法
为了方便起见，我们将一般圆简化为单位圆，并考虑半圆部分
从-1到1的积分，即
。对于
，我们采用第二类换元法中的三角换元。由于被积函数的定义域与
的值域同为
，且
在考虑范围内是单调的，故可直接令
。则
。
求这个积分有两种方法：
（1）对 分部积分：
一方面，
；
另一方面，
。联立两式，得
（2）直接利用恒等变换，
由于，则
。
于是
。
事实上，这两种方法可以看作一种，读者可以试着思考这一点。
于是，，这一步，包括前面的一步能将
与
调换，是因为在
时，
；能将
换成
，是因为
的区间刚好是反正弦函数的主值区间。
这样，稍加计算就可以得到积分值为
再将其乘2，得到单位圆面积为
。
又由于所有圆都相似，得一切圆的面积都是（即乘以相似比），进而一切扇形的面积都是
。
方法二：极坐标积分法
这个想法来源于六年级课本上的将圆形无限分割成无数个三角形后进行拼接，得到一个长为半周长，宽为半径
的矩形。这里实际上是将圆心角无限小的扇形视作三角形。
在腰长为半径，顶角为
的等腰三角形中，底长易知应为
（这里运用了等价无穷小替换）。故小三角形的面积为
对其进行积分，直接得出扇形面积应为
这一方法的好处即是美观且简便，无需任何技巧。
对于视频中的第一种方法，与极坐标积分的灵感想法相比，我认为极坐标积分可能更胜一筹。因为对于第一种方法得到的三角形，我们不由得要问：这个三角形的斜边是多少？我们易得是。这个值从何而来？我们很难有一个令人信服的答案，甚至这种展开方式能否实现，我们都不得而知。
