工程数学之渐进分析/摄动理论基础

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个人理解的“渐近级数”跟“收敛级数”的区别：后者重视的是项数充分大时收敛到精确解，余项收敛到零（但收敛未必关于小参数epsilon一致）。但前者是希望在截断有限项时，小参数趋于零的场合下 余项能够有对于参数的收敛阶估计。渐近级数可能是发散的，而且不少渐近分析的问题还非得用发散的渐近级数才能研究。

A = O(B)的含义是 存在常数C使得|A|<=C|B|，有可能A的量级远比B小，也可能一样。A=o(B)则是（在某个极限过程当中）A/B收敛到零。

非齐次常系数ODE找特解可以用常数变易法/Laplace变换法，也可以靠猜。更复杂的ODE/PDE需要数值方法。

奇异摄动往往是小参数出现在“强烈非线性项”或者“最高阶导数项”系数上 导致的。某些ODE/PDE的奇异摄动会导致“边界层”现象，比如这里举例的Friedrichs方程。尺度变换+无量纲化确实是研究奇异摄动的实用的方法，学习了。

数值方法通常不能直接处理好奇异摄动ODE/PDE，反倒需要借助渐近分析来构造适合该问题的特定小参数的数值方法。粗略地说，就是“边界层附近加细网格”。

当然，有些方程的形式过于复杂，不太容易猜到渐近级数的主项的形式（至少没有通法）。

第二类奇异摄动可能在研究某一阶项时出现“共振”现象（ODE的右端项刚好和通解同频率），研究长时间性态时可能发生“蚂蚁撼大象”的情况（某一项的量级达到其前一项的量级）违背渐近的要求。一种解决方案是对频率项（的倒数）也进行渐近展开。不过试图解高阶项就会非常麻烦。