一道“对称日”之数学题

此次水一篇专栏，是作昨天流行的一道题之解答。即(20211202)为“世界完全对称日”，即8个数字关于中间对称(真是吃撑没事干了，随便都能从无聊中编出一道数学题/doge/)，不过既然都看了，那么小编还是作了原问题之解析:

共有多少个“世界完全对称日”?

下面的解析将用到有关公历的一些常识，如:

31天月份有1,3,5,7,8,10,12

(一三五七八十腊，三十一天永不差)

2月平年28天，闰年有29天

其余月份30天

设“对称日”为abcddcba

(下文abcd均默认为整数)

前四位为年份，第5,6位为月份，第7,8为为日期

易得a∈[1,9](年份首位不为0)

d∈[0,1](月份首位为0或1)

b∈[0,3](日期首位为0,1,2,3)

先从限制范围窄的数开始讨论起

即先分(1)b=0和(2)b=1两类

(1)d=0

此时c多加≠0这一限制(月份十位为0，则个位必需为正整数,即表1月到9月)

即a∈[1,9],b∈[0,3],c∈[1,9]

(1.1)b=0

即a0c00c0a

由于前者(年份)无各个位数限制，因此只需让后者(月份和日期)存在即可

c决定月份，a决定日期

由于1月~9月均有1号~9号

即a可取1~9,c可取1~9

共有9*9=81种

(1.2)b=1

即a1c00c1a

由于1月~9月均有11号~19号

即a可取1~9,c可取1~9

共有9*9=81种

(1.3)b=2

即a2c00c2a

此时2月较特殊，单独讨论

由于1月,3月~9月均有21号~29号

即c可取1,3~9,a可取1~9，有8*9=72

当c=2时，2月有21~28号，有8种

当a=9时,年份为9220，(9220/4=2305)故9220年为闰年，有29号

共72+8+1=81种

(1.4)b=3

即a3c00c3a

此时a只能为1(首位非0且末尾≤1)

即13c00c31

其中有31号的月份有1,3,5,7,8,10,12

故c可取1,3,5,7,8共5种

(2)d=1

此时c只可取0,1,2(即10,11,12月)

(2.1)b=0

即a0c11c0a

由于10月~12月均有1号~9号

即c可取0~2,c可取1~9

共有3*9=27种

(2.1)b=1

即a1c11c1a

由于10月~12月均有11号~19号

即c可取0~2,c可取1~9

共有3*9=27种

(2.1)b=2

即a2c11c2a

由于10月~12月均有21号~29号

即c可取0~2,c可取1~9

共有3*9=27

(2.1)b=3

即a3c11c3a

此时a只能为1(首位非0且末尾≤1)

即13c11c31

其中有31号的月份有1,3,5,7,8,10,12

故c可取0,2共2种

综上,年份为4位的对称数共有

81+81+81+5+27+27+27+2=331个

ps:上述过程全为个人构思，若有遗漏欢迎纠正补充