BEC and Goldstone Modes

      自发对称破缺的概念在凝聚态物理中有多么重要如何强调都不为过，与其对应的Goldstone modes/Boson 也有非常多的例子，比如声子、FM磁振子、超流等等，这些都是无能隙的激发（Goldstone modes的特点）

      有人可能会问，超导也是U(1)破缺，为什么超导是有能隙的？因为与超流不同的是库珀对是带电的，其与电磁场耦合之后，会有一些奇异的现象，后面我们会详细说描述超导的Anderson-Higgs机制，精彩待续......

这个机制后来演变成了粒子物理中描述质量起源的Higgs机制（原谅我把Anderson的名字去掉了，仅仅是为了与凝聚态里的应用有所区分）高能尺度的质量产生机制居然与低能尺度的超导能隙以及Meissner效应来源于同一个本质，不禁令人感叹这种优美！

另外，在文中我说“长波极限下的场对应的作用量为零，这会导致幂律的长程关联”，我没有计算，但是这一点足够重要以至于读者应该自行检查一下我的话，并且检查一下三点：

1. 结果与空间维度的关系

2. 对于铁磁的情况，利用L-G自由能泛函，计算横向、纵向（平行于基态的磁化方向）的关联函数，并且检查是否在铁磁相出现了典型的Goldstone modes的幂律长程关联

3. 利用2的结果解释为什么FM中横向磁化率是发散的，并且利用“墨西哥帽”的图像可以有什么定性理解。