今年第64届IMO第二题几何题的一些个人思路和证明

（ps：本人写字比较烂，还请大家见谅） 首先我们来看一下这道几何题

问题要求证明的是“ω在P处的切线与直线BS的交点在∠BAC的平分线上”。 笔者一般看到这种问题时，不着急去证明“共点”或者“共线”，而是先想一想，能不能把共点共线转化为在初中时期经常见到的几何关系，比如“线段相等”，“平行垂直”，“相切”这种几何关系。 笔者一般会优先考虑初中常见的几何关系，然后才是共线，最后是共点。当然也有例外。 在本题中，我抱着这种思路，换了一种表述方式： “∠BAC的角平分线交BD于点M，证明MP为ω的切线”。 然而，⊙ω毕竟是△BLD的外接圆，圆心不太好表述出来，所以证明切线利用角度关系不太好证明。但是我们可以发现，MDB是割线，所以想到切割线定理，有MP²=MD*MB。 接下来，利用AE⊥BC，OS⊥BC（O是Ω的圆心）这个平行关系，导角，利用相似。具体看第一步的图片：

问题转化为了“证明MP=MA”。 下一步，⊙ω是生成的圆，△BLD也是生成的三角形。所以我们可以想一想，能不能把“生成点”转化为几何关系，同时消去生成点，线，圆。 我个人认为这算是一种消点的思想，这样可以将复杂的图形提取成简单的图形+一系列的几何关系，抽丝剥茧，逐渐简单。 再看回⊙ω，显然点P是我们需要用到的点，暂时肯定不能先消去。所以可以考虑把△BLD及⊙ω的几何关系向点P靠拢，再消去△BLD和⊙ω。具体如图所示

第三步，“拓展几何关系”。毕竟∠BPD=∠DAC还是不太好使用。这时候不妨利用一下圆的性质，延长了PD交⊙Ω于Q，通过角度相等变为弧长相等，再转成别的角度相等，如图所示：

我们居然得到了A，O，Q三点共线，这是很有用的，毕竟O是圆心。 这时候，有∠APT=90°，而我们要证明MP=MA，这就很明显在提示“M是AT中点” 最开始，笔者尝试通过证明“MO∥PQ”来说明MO是中位线，进而得到M是中点的事实。但是笔者能力有限，最终也没证出来。所以尝试直接证明M是中点。图中有很多平行关系和相似关系，可以考虑用比例式，看看能不能通过“导边”导出来“相等”。结果如图所示：

AM=MT证出来后，就可以得到MP=MA，进而得到MP²=MA²=MD*MB，由切割线定理知MP是切线，Q.E.D！ 总而言之，本题难度尚可，在高联范围内（至少没有那些平几里面的阴间定理（笑））。个人的思路就是“消点”和“找几何关系，改变证明的命题”，“倒着来”。 还请各位批评指正！