一道立体几何好题，快进来康一康～～

大家好！

今天来给大家分享一道立体几何题

这是up高三期末考试的一道填空题，可以说想在考场上做出来难度不小，全校做出来的人不到百分之一

我们先来看一看原题：

不难看出，这道题主要有以下几个难点：

1.题目条件比较创新，难以找到突破口

2.考生看到图后容易胡思乱想，自己现场编出一种求二面角的方法

3.找到思路后计算量大，过程较为繁琐，容易出错

下面 up 就来给大家介绍两种做法

第一种做法运用了投影的面积性质：一个几何图形在另一平面的投影面积，等于原图形面积乘以两平面夹角的余弦值

如图，过  和  做平面  的垂线，垂足分别为  和 

联结 ，，，

于是问题转化为求  和  的面积

易知 

故我们只要求 

由题目所给边长以及直线与平面的夹角，可知：

 ，

只要求出 ，就能求出 

注意到  为直角梯形， 恰为梯形的高

在  中使用余弦定理可得：

因此平面  与平面  夹角余弦值

以上是第一种做法，计算量略大

第二种做法使用了一个结论，其实为方向余弦的一个性质

该结论如图所示：

已知空间中有三条相互垂直的直线，

该结论证明也是比较容易的：

回到原题：

注意到  和  均与平面  垂直，

与平面  垂直，所以两平面夹角为 () 与  的夹角

而 ，， 两两垂直，且根据线段长度可知  与  以及  与  夹角余弦值分别为  和 

代入结论中的公式，立刻解得  与  夹角余弦值为 

于是两平面夹角余弦值为 

当然本题的解法不止这两种，如果您有更好的方法，欢迎在评论区留言～～

好了，以上就是本期内容了，感谢收看！

拜拜～～