LDPC 软判决算法之似然比形式 (三) tanh-lambda 规则
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我们研究 二进制域下的 tanh rule, x 为二进制随机变量， 代表二进制加法，满足：
（录制的视频：https://www.bilibili.com/video/BV1Pa411V7VK/ ）
定义 函数为概率比的对数，即：
其中 p(x=1) 表示 x 取数值 1 的概率。
换一种写法：
我们引入两个相互独立的随机变量 ：
其中分子, 有两种情况，
和
，则：
因为我们已经假设两个随机变量相互独立，则：
那么，最终：
同理： 有两种情况，
和
，则：
因为我们已经假设两个随机变量相互独立，则：
那么，最终：
把上面的结果代入公式 (1) 可以得到：
分子分母同时除以 , 可得：
现在，我们引入 tanh 函数， tanh 函数定义如下：
则
用上面的结论，把公式 (2) 进一步推导为：
我们再从公式 (3) 出发，导出有 log 的表达式：
令
则
把前两个推导结果，代入公式 (3) 得到：
稍微整理一下得到：
用上面这个结论，我们来推导公式 (4) ，把公式 (4) 中的
看成 t ，则：
由于 tanh 函数是奇函数，所以：
则公式 (5) 也可以写成：
用数学归纳法，可以证明多个独立随机变量，以上关系也是成立的。我们证明一下三个独立随机变量的。
根据公式 (6)， 我们把 看成一个数，则：
再把公式 (6) 代入公式 (7)
依次类推，可以得到：
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