暂时盒子-「次元」

定义一个集合 其中包含所有自然数{1,2,3,4,5,6,7……} 是我们得到自然数集N 很明显，N是无穷大的，因为给定一个自然数n，必然有n⁺(也就是后面的一个数) 将自然数集化为序数，我们就得到了 ω ω就是自然数集的序型，也是最小的无穷 ω为什么不是自然数，一个集合不可能∈自己本身吧？所以1+ω=ω，摆脱了困境…… 极限序数中没有交换律！ 不过因为ω是序数，所以必然存在下一个后续数，于是我们得到了ω⁺，也就是ω+1 路都又开始了…… ω+2，ω+3……ω+ω ω×3，ω×4……ω×ω ω^3，ω^5……ω^ω ω^ω^ω…… （↑之类前的大数表示法之前专栏基本有些限大数说，这边就不用多说了……） 现在普通的科学记数法不够用，我们也达到了极限，后面还有路吗？ 我们把以上所有ω的集合记作： ε₀ 于是 ε₀ =sup{ω,ω^ω,ω^ω^ω,…} 这里有个很奇怪的特性，ω^ε₀=ε₀ 把ε0比作α，那么α=α^ω 很离谱吗？ 其实很好理解，因为ε₀就是ω个ω相乘方 也就是ω↑↑ω ω↑↑ω^ω=ω↑↑1+ω=ω↑↑ω 于是我们把ε₀称作ω的不动点！ ε0也就是第一个ω不动点 问题来了，竟然是不动点了，那么后面该怎么进行？ ω↑↑(εₙ+1)=εₙ₊₁ 没错，只要加个1，不能打破这个不动点 因为此时互相乘方的ω变成了ω+1个 而不是变成1+ω，不会卡不动点！ 由此可以推出更好的不动点序数： ζ₀=εεεεεεεεεε……₀ 一共ω个ε η₀=ζζζζζζζζζζ……₀ 一共ω个ζ …… 这样列举太慢了！ 于是出现了一个函数：φ(#) 其中： φ₀(n)=ω^n φₙ(0)=φₙ₋₁(φₙ₋₁(φₙ₋₁(φₙ₋₁(……)))) ω个括号 于是我们可以直接枚举出一些不动点序数 φ₀(0)=ω φ₁(0)=ε₀ φ₂(0)=ζ₀ φ₃(0)=η₀ 一直φω(0) 不行，一元φ函数还是太弱了，于是，我们要扩展出多元φ函数 将外面的下标收入括号里(打字简单点了😫) 然后第定义：φ(n,0,0)是对φ的不动点扩展…… 于是我们得到了Γ₀，也就是φ(1,0,0) 为φ(n,n)的不动点 =φ₀(φ₀(φ₀(φ₀(φ₀……))) ω个φ φ(1,0,n)=Γₙ φ(1,1,0)=ΓΓΓΓΓΓΓ……₀ …… @： 表示一个数在φ中的位置 如果只有一个，默认后面为0 比如： φ(1@4)=φ(1,0,0,0) φ(1,0,0,0)也就是阿克曼序数 φ(1@ω)就是小维布伦序数(LVO) 下面的突破又遇到了困难 于是要定义一种新的函数…… 令 ω 为第一个超限序数， Ω 为第一个不可数序数(注意不是绝对无穷) C0(α)={0,1,ω,Ω} Cn+1(α)={γ+δ,γδ,γδ,ψ(η)|γ,δ,η∈Cn(α);η<α} C(α)=⋃n<ωCn(α)ψ(α)=min{β<Ω|β∉C(α)}这意味着， ψ(α) 是小于 Ω 的最小序数，且无法利用 C0(α) 通过加法，乘法，幂集运算来 ψ(n)=εₙ ψ(ζ₀+n)=ζ₀ …… ψ(Ω)=ζ₀ ψ(Ω+n)=εζ₀+1=ζ₀ …… ψ(Ω+ζ₁)=εζ₀+ζ₁=ζ₁ …… ψ(Ω2+n)=ζ₁ …… ψ(Ωη₀)=η₀ …… 后面也是同质性的，好像根本没有增长…… ψ(Ω²)=ψ（Ω^ψ(Ω)） 所以 ψ(Ω²2)=η₁ ψ(Ω²n)=ηₙ₋₁ ψ（Ω³)=φ₄(0) ψ(Ωⁿ)=φₙ₊₁（0） ψ(Ω^Ω)=Γ₀ ψ(Ω^Ω n)=Γₙ₋₁ ψ（Ω^Ω+1）=φ（1,1,0） ψ（Ω^Ωn）=φ(n,0,0) ψ(Ω^Ω^n)=φ(1@n+1)（n+1个0） φ(Ω^Ω^ω)=φ（1@ω） 大维布伦序数(SVO)：ψ(Ω^Ω^Ω) =  巴克曼 - 霍华德序数(BHO)： ψ(εΩ+1) 过了这个阶段，我们还可以定义出新的ψ函数，以及新的序数比如BO=ψ(Ω_ω)，TFB=ψ(ψ_ω(0))……太慢，递归函数的增长太慢了…… 来定一些有趣的数…… 一个无限象棋，在无限象棋中，一个位置的游戏值（白色格）是由递归定义的。值为 0 的位置正是 white 已经赢的位置。如果一个位置 p 是白色的格子，那么当且仅当 α 是最小值时，当且仅当 α 可以合法地从 p移动到值为 α 的位置，那么 p 的值就是 α+1 。如果一个位置 p 为黑格，其中黑格有从 p开始的合法移动，而黑格从 p 开始的每一个移动都有一个值，那么 p 的值就是这些值的上确界。 ω₁ᶜʰ：无限象棋中白棋在有限个位置获胜的博弈值的上确值 ω₁ᶜʰ ᶜ：无限象棋中白棋在可计算个位置获胜的博弈值的上确界。 ω₁ᶜʰ~ ：无限象棋中白棋在无限个位置获胜的博弈值的上确界。 现在只计算一下它们的值(不考虑无限的情况下) 很明显很难估算出来吧…… ω₁ᶜᵏ：也就是邱奇 - 克林序数， 是可计算序数的上确界。一个序数 α 是可计算的当且仅当 其序型存在一个位于 N 上的可计算关系 ◃ 。即： ⟨α,<⟩≅⟨N,⊲⟩ 于是我们可以写： ω₁ᶜᵏ=所有递归序数的集合 ω₂ᶜᵏ=ω₁ᶜᵏ放入任何递归运算的集合总和 …… 再次引入φ(#) φ(0,n)ᶜᵏ=ωₙᶜᵏ 剩下的也知道了…… 我们可以写出φ(ω@ω)ᶜᵏ这样的序数…… 写到这，不免有些空虚 想到这些序数都只是用来排序用的，实际上，根本没有大小(势)，就算是无限，也感到没什么意义了…… ℵ₀ ℵ₀是最小的超限基数阿列夫零使也是阿列夫数中第一个也是最小的一个阿列夫数 与超限序数不同，阿列夫数是一系列的超限基数：用于衡量一个集合大小 所有的可数无限集合都与 ℵ0 等势。 ω 可作为 ℵ0 的第一个初序： ℵ₀=card{ω,……ε₀……ζ₀……η₀……Γ₀…………} P(ℵ₀)= ℵ₁ ℵ₀与ℵ₁中间没有别的基数 这叫连续统假设(CH) P( ℵₙ)= ℵₙ₊₁ 这叫广义连续统假设(GCH) 在ZFC公理系统中，它不可证明真，也不可证明假(但是如果V=终极L，(广义)连续统假设成立) 如果连续统假设不为真 我们也可以推出： ℵₙ=∩{x∈On:|ℵₙ₋₁|＜|x|} ℵα=∪ₓ∈ₐ ℵₓ，其中α是一个极限序数 ℵ₁是全体实数的集合，也就是直线(数轴)上所有点的集合 ℵ₃是三纬中所有立体图形(以及曲线)的集合！(所有曲线的泛函) ℵω={ℵ₀,ℵ₁,ℵ₂,……}相当于把ω中的元素一一对应成ℵ数 这也是： cf(ℵω)≠ℵω的原因(不是正则基数)cf是取最短长度…… 贝斯数ℶ： ℶ0= ℵ₀ ℶα+1=2^ ℵα ℶλ=sup＿α<λ ℶα 其中λ 为一个极限序数。 如果广义连续统假设成立， 则 ℶn= ℵn……