【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第一章直线、角、平行线——直线、圆和圆弧  

§1-3线段的度量和画法

【01】我们知道，可以用有刻度的直尺来量出线段的长度（图1·12）。但是如果要把线段量得精确些，应当用分割规（两脚都是尖针的圆规）。量的方法是先把分割规两脚的针尖分别放在线段的两个端点上（图1·13(1)），直然后不改变分割规的张口大小，把它移到有刻度的直尺上，并使一个针尖落在直尺记着 0 的刻度线上，这时另一个针尖就指出这线段的长度（图1·13(2)）。

【02】如果分割规的另一个针尖不是正好指在尺上的刻度线时，我们就要凭目力来估计，再用四舍五入法读出线段的近似长度。

【03】如图1·14中，B 指着的点靠近 22 毫米，那末它的近似长度应该是 22 毫米（精确到 1 毫米）；D 指着的点靠近 23 毫米，它的近似长度就应该是 23 毫米（精确到 1 毫米）。

【04】使用分割规的时候，应该注意两个针尖是否已经并齐（图1·15），如果不并齐时去度量线段，就会影响所量结果的精确度。

【05】我们用分割规和直尺，也可以画出或者截取已知长度的线段。方法是先用直尺画一直线，用分割规在刻度尺上量好已知的长度，不改变它两脚的张口，移到画好的直线上去，使分割规两个针尖都落在直线上，用铅笔尖在针尖指着的地方画细直线，这时两个细实线间的那个线段就等于已知长度的线段了。

【06】我们应用分割规和直尺截取线段的方法，可以在一条直线上画出线段，使它等于儿条线段的和。如图1·16中，PQ＝a＋b＋c，其中线段 a,b,c 是已知的。

【注意】在直线上截取各已知线段时，如果改变线段 a,b,c 的顺序，所画出它们的和 PQ 的长是一样的，道理是线段相加，交换律仍然是满足的，这和代数里所学的加法交换律一样。

【07】同样，也可以画出一条线段，使它等于两条已知线段的差。如图1·17中，PQ＝l－m，其中线段 l，m 是已知的，并且 l＞m  。

【08】从上图可以看出，线段 PQ＋m＝l，如果 PQ 和 m 的顺序交换一下，就有 m＋PQ＝l，所以在画图的时候，如果从线段 l 的左端起截取线段 m，结果也是一样的。

【09】我们用分割规和直尺还可以把线段等分。方法是先量一量这条线段的长度，用除法计算出它的每一等分的长度（有时除不尽，取它的近似值），再利用分割规按每分的长度作出所要求的各等分线段（图1·18）。

【10】这样作图有时会有误差。如图1·19，第 5 分点与点 B 相差线段 a，就应该使两个针尖间的距离缩短（图1·19(1)）或者加长（图1·19(2)）  。

【11】如果把一条线段二等分，这个分点也就是这条线段的中点。

例1.在射线 AM 上截取一线段，使它等于已知线段 a 的 5 倍（图1·20）。

【解】

        先画出已知线段 a，再画出射线 AM  。用分割规自 A 点起顺次截取 AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝a，所以 AF＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＝5a  。

例2.已知线段 a,b(a＞b)，用分割规和直尺画出线段 x,y，使 x＝a＋2b；y＝3a－2b（图1·21）。

【解】先画出已知线段 a 和 b，且 a＞b  。再画出射线 AM 和 BN  。

        (1)用分割规在射线 AM 上，自点 A 起顺次截取 a 和 2b，∴ x＝a＋2b  【符号 “∴” 表示“所以”】

        (2)用分割规在射线 BN 上，截取 BE＝3a，再自 E 向左方截取线段等于 2b，∴ .y＝3a－2b  。

【注】在图上标注线段的长度，有一定的方法。先在要标注的线段两端，引出细实线作为境界线（图1·21），境界线通常用长约 5 毫米的细实线表示，在境界线中间再画一条细实线，中间留着空位，注明长度的数字或者小写字母，两端画上箭头，这条细实线叫做尺寸线。

例3.已知两条线段 A'B'＝5.4mm，CD'＝2.5mm，依照定比 10：1 放大后画出这两条线段的差。【“mm”表示毫米，“cm表示厘米，“dm”表示分米，m"表示米】

【解】已知 A'B'＝5.4mm。C'D'＝2.5mm，依题意把它们放大 10 倍，就是

        AB＝5.4mm×10＝54mm＝5.4cm，CD＝2.5mm×10＝25mm＝2.5cm  。

    ∴ AB－CD＝5.4cm－2.5cm＝2.9cm  。

        下面是按10：1放大的图（图1·22）：

习题1-3

1、任意画一条线段 AB，用分割规和毫米尺量出线段 AB 的长度（精确到毫米）。

2、任意画一条线段 CD，用分割规和毫米尺求出它的中点来。

3、已知两条线段长为 4.6 米和 340 厘米，用直尺和分割规分别画出按原来的长度缩小到 1:100 的两线段。【缩小的线段长为 4.6cm，3.4cm】

4、在下图中可以找出几条线段？分别把它们表示出来。【6条，即 AB,AC,AD,BC,BD和CD】

5、根据上题的图填写下面的空白：

(1) AC＝BC＋（）；【AB】

(2) CD＝AD－（）－（）；【AB,BC】

(3) BC＝AD－（）－（）；【AB,CD】

(4) AB＋BC＝（）－CD；【AD】

(5) AD＝（）＋（），把几种答案都写出来。【AB,BD或AC,CD】

6、下图中 M 是线段 AB 的中点，填写下面的空白：

(1) AM＝（）；【MB】

(2) AB－AM＝（）；【MB】

(3) AM＝（）；【AB】

(4)AB＝2（）。【AM或MB】

7、已知线段 AB＝15cm，点 C 在线段 AB 上，D 和 E 分别是 AC,CB 的中点，求 DE 的长。【7.5cm】

8、已知一线段的长等于 l，把它分成任意两部分，求这两部分的中点之间的长。【】

9、已知线段 a 和 b (a＞b)，画出一条线段使它等于 (1) 2a＋2b；(2) 3a－2b  。

*10、下图中的 AB＝CD，为什么 AC 就等于 BD？[提示：AC＝AB－CB，BD＝CD－CB]

*11、下图中，M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点，O 是 AC 的中点。MN 等于 OC 吗？为什么？【】