SJTU Signal&System 期末整理
系统的性质（system properties）：（1）记忆系统（memory system）：输入包含当前时刻之外的其他时刻；无记忆系统（memoryless system）：输入仅与当前时刻相关；（2）因果系统（casual system）：输出只取决于当前和该时刻之前的输入；（3）稳定性（stability）： ,
；（4）时变性（time invariance）：系统自身性质与时间是否相关（判断方法：对信号先时移再变换与先变换再时移是否相等）（5）线性性（linearity）：判断方法，已知
, 计算
是否成立
2 求解卷积（convolution）
Convolution Sum
Convolution Integral
卷积的求解法：
常用：图解法（画出x和h，确定重合区域，最后计算即可）
利用性质计算
3 求解微分方程（Differential Equation）
高数中教的是通解+特解的解法，这里不再赘述，而从物理意义上，我们更多使用零输入响应和零状态响应来理解
零输入响应（zero-input response）：理解成x(t) = 0
零状态响应（zero-state response）：理解成y(0) = y'(0) = y''(0) = ... = 0
具体求解可以书上或者作业题找一道练练手，反正就是解两个微分方程呗，靠高数了
4 傅里叶级数（Fourier Series）
对于满足Dirichlet条件的周期函数，傅里叶级数可以把一些类波函数表示成一些三角函数相加
连续时间域上的傅里叶级数（CTFS）
CTFS性质
线性性：
，则
Time Shifting：
，则
Time Reversal：
， 则
共轭：
微分性：
积分性：
相乘：
Parseval Relation（等式的两边均代表平均功率）
离散时间域上的傅里叶级数（DTFS）
常见求FS的方法，
定义法：利用CTFS和DTFS的系数定义来求
运用展开式，将三角函数展开为指数形式，常用公式
,
,然后比较系数即可
5 傅里叶变换
连续时间傅里叶变换（CTFT）
然后这里主要涉及到的题型是傅里叶变换的求解，同时从这几年期末考试的情况来看，基本的傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换是会在appendix里面给出的，所以不需要去背常用的一些FT/LT/ZT，我们需要重点关注的是性质，然后灵活应用性质即可。对于性质，个人建议的学习方法是考前全部自己手推一遍，然后现在复习的时候就尽可能不要翻书了，把性质要牢记于心。上学期考数理方法的时候就感觉这个复习方法很好用，性质很快就熟记了
CTFT性质
线性性：
，则
Time Shifting：
Frequency Shifting：
， 则
Time/Frequency Scaling：
共轭：
微分性：
积分性：
对偶性：
相乘：
，则
Parseval Relation
离散时间傅里叶变换（DTFT）
DTFT性质
线性性：
Time Shifting：
，
Frequency Shifting：
共轭：
微分性：
， 则
积分性：
相乘：
卷积：
Parseval Relation
System Analysis
主要利用的性质
微分性：
积分性：
E.G
解答：利用微分性可得
(利用基本的Pair即可)
调制与解调(Modulation & Demodulation)
可以看一个例子来理解，这一块基本考试就是这一种方式了，会考察调制的结果，然后设计一个解调函数。
调制结果的计算比较简单，只需要利用公式
解调的话一般来说还是需要利用函数平移，然后利用一个低通滤波器即可。这一块要求不高，简单理解即可。
采样（Sampling）
采样定理就是需要保证采样值可以包含原始信号的所有信息，被采样的信号可以不失真地还原成原始信号。
要求：
6 拉普拉斯变换（Laplace Transform）
Laplace Tranform和Fourier Transform之间重要的区别在于LT有ROC限制，满足条件的ROC应该是使得 成立的 Re{s}
关于ROC的pole图，大家可以参考一下其他资料（受篇幅限制），理解起来不难，有些题可能需要你画出来pole。
求Laplace反变换， E.G.
求解方法，先拆分成常见形式（系数可以用留数定理，很快可以算出来），最后别忘了对ROC分类讨论
其他一些常见形式，
, 待定系数同样用留数定理可快速求解
,一般可以写成三角函数的形式
LT性质与FT类似，在此就不占用空间啦（主要b站有公式上限orz）
初值/终值定理
system是否casual/stable的判断
casual system：最右端极点在右半平面
stable system：jw轴包含在ROC内即可
Steady-state Response
输入为
输出为
然后相关的系统框图需要有一定了解，个人认为系统框图可以考场现推，没有太大的必要死记硬背，就先把x的一阶二阶导设出来，然后化简式子连接即可。
然后还有一类题是用LT解微分方程，有初始值时，需要注意以下即可
7 Z变换（Z Transform）
最常见的z变换pair基本就是 然后针对ROC，x[n]若为右单边，
; x[n]若为左单边，
; x[n]若为双边， 是一个圆环
反z变换的求法
先做
, 然后利用留数定理拆分成以下形式
得到反变换形式，
ZT性质与FT类似，在此就不占用空间啦（主要b站有公式上限orz）
初值定理与终值定理
system是否casual/stable的判断
LTI stable： ROC包含单位圆
LTI casual： 在无穷远处收敛，即H(z)分母阶数比分子高，ROC包含z平面上的无穷
系统框图个人感觉和Laplace差不多，其实这仨掌握一个其他都是同理的。
解微分方程：
欢迎各位大佬提出建议啦~b站只允许插100个公式+图片，所以很多内容被迫删除，选取了最重要+最基础的一些
