高中数学基础与解法全集（涵盖所有）|长期更新|从零开始拯救所有学渣！通俗易懂|竞
一、十字相乘法：二次函数、方程、不等式
1.二次函数——十字相乘法：y=ax²+bx+c=(x-x1)(x-x2)（a，b，c都为整数且a≠0），y=x²-3x+2=(x-1)(x-2)，y=x²-5x+4=(x-1)(x-4)，y=x²+4x-12=(x-2)(x+6)，y=x²-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)，本质就是乘开了而已
2.二次函数——图像：y=ax²+bx+c（a≠0），a控制开口方向，b控制∆和对称轴，c控制∆和抛物线与y轴的交点，b=0是对称轴就是y轴
由此推广到二次方程，可用韦达定理*，前提是∆＞0，韦达定理一般出现在高中的解析几何当中
3.二次不等式：用十字相乘法求根，结合不等式和二次函数图像，口诀：大于取两边，小于夹中间，有效范围是a＞0
*韦达定理：
1.数学推导
由一元二次方程求根公式知
则有：
2.定理意义
韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
一元二次方程的根的判别式为∆=b²-4ac（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无 论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理 。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。
利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。
二、常用的乘法公式
1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)，a和b可以是整式
2.完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²，(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³，记忆方法：杨辉三角（和的完全n次方公式）
3.立方差与立方和：立方差：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)，立方和：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
例题：
1.
2.
3.
归纳：1.把已知条件往知识点上面靠，把未知往已知上面套；2.选填首推特值法；3.注意整式正负号；4.共同点放一起，不同点放一边；5.比大小时用作差法检验；6.当两个括号有相同部分的时候，一定要将其看成一个整体；7.只要出现三次方，优先选择立方差和立方和公式
三、绝对值的意义与解题方法
1.代数意义：|a|=a（a＞0），即正数的绝对值等于它本身；|a|=0（a=0），0的绝对值就是0；|a|=-a（a＜0），即负数的绝对值是它的相反数
2.几何意义：|a|：在数轴上表示a的点与在数轴上表示0的点这两者之间的距离叫做a的绝对值；|a-b|：在数轴上表示a的点与在数轴上表示b的点这两者之间的距离叫做a-b的绝对值，|x-1|＞4：（1）x≥1时，x-1＞4，∴x＞5（2）x＜1时，1-x＞4，∴x＜-3，∴x＜-3或x＞5（代数意义）；画数轴，与1的距离为4的点在数轴上有且仅有-3或5，∴x＜-3或x＞5（几何意义）；|x-1|+|x-2|＞4：x-1的零点是1，x-2的零点是2，（1）x≥2，（2）1＜x＜2，（3）x≤1，高中只要遇见绝对值，分类就行了
3.零点*：零点是指使得式子为0时，x的取值，例如(x-1)=0，解得x=1,1就是(x-1)的零点，注：零点是一个值，而不是一个点
*零点：
1.定义
零点，对于函数y=f(x)，使 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点，即零点不是点。这样，函数 y=f(x) 的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。
2.等价条件
方程f(x)=0有实数根即函数y=f(x)的图象与 x 轴有交点/函数y=f(x)有零点。
3.求解方法
求方程f(x)=0的实数根，就是确定函数y=f(x)的零点。一般的，对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，我们可以将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根。
函数y=f(x)有零点，即是y=f(x)与横轴有交点，方程f(x)=0有实数根，则∆≥0，可用来求系数，也可与导函数的表达式联立起来求解未知的系数。
四、二次函数中的a、b、c
1.标准形式：y=ax²+bx+c（a≠0）
2.a、b、c的作用：a控制开口方向，对称轴，∆和根；b控制对称轴和∆；c控制该二次函数与y轴的交点
3.∆=b²-4ac：∆＞0时，抛物线与x轴有两个交点；∆=0时，抛物线与x轴有一个交点；∆＜0时，抛物线与x轴没有交点
4.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；a越大，该二次函数的增长速率越快，即该二次函数图像越陡峭；a越小，该二次函数的增长速率越慢，即该二次函数图像越平缓；c越大，该二次函数与y轴的交点越靠上；c越小，该二次函数与y轴的交点越靠下
例题：
1.
2.
3.
归纳：1.不要破坏二次函数表达式的完整性；2.掌握好零点问题与交点问题的转化；3.画图画图画图，画图会让思路非常清晰，计算一不小心就会清奇；4.通彻二次函数中a、b、c的作用
五、含参一元二次函数相关问题
1.最值问题：a＞0，a≤x≤b时，最大值：
最小值：
a＜0，a≤x≤b时
方法：画图
2.根的分布：
方法：看端点，画图
3.不等式：详见笔记【一-3】
例题：
1.
2.
3.
4.
六、韦达定理相关问题
1.定理：设一元二次方程ax²+bx+c=0（a，b，c∈R，a≠0，∆≥0）中，两根x1、x2有如下关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a
2.高中运用：①直接代入；②x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2；③|x1-x2|=√(x1-x2) ²=√(x1+x2)²-4x1x2=√∆ /|a|；④已知x1，求x2
3.求根公式：
例题：
1.
2.
3.
七、集合的基本定义与表示方法
1. 元素：现代数学集合论中，元素是组成集的每个对象，集合由元素组成，组成集合的每个对象也称为元素，例如：集合{1，2，3}中 1，2，3都是集合的一个元素
2.集合：由一个或多个确定的元素所构成的整体
3.集合的三大特性：①确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现；②互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次；③无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序
4.集合的表示方法：通常用大写字母如A，B，S，T，.……表示集合，而用小写字母如a，b，x，y，……表示集合的元素，若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S，若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为y∉S
5.符号：有些集合可以用一些特殊符号表示，举例如下：N：非负整数集合或自然数集合{0，1，2，3，……}；N*或N+：正整数集合{1，2，3，……}；Z：整数集合{……，-1，0，1，……}；Q：有理数集合；Q+：正有理数集合；Q-：负有理数集合；R：实数集合(包括有理数和无理数）；R+：正实数集合；R-：负实数集合；C：复数集合；∅ ：空集（不含有任何元素的集合）
6.集合的表示方法：①列举法：列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式，例如，光学中的三原色可以用集合{红，绿，蓝}表示；由四个字母a，b，c，d组成的集合A可用A={a，b，c，d}表示，如此等等，列举法还包括尽管集合的元素无法一一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况，如正整数集N+和整数集Z可以分别表示为N+={1，2，3，……，n，……}和Z={0，±1，±2，……，±n，……}；②描述法：描述法的形式为{代表元素|满足的性质}，设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：S={x|P(x)}，例如，由2的平方根组成的集合B可表示为B={x|x2=2}，而有理数集Q则可以表示为Q={x|x=q/p，p∈N+，q∈Z}；③区间法
八、集合之间关系
1.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，即若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B
2.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B不是集合A的子集，那么集合A叫做集合B的真子集，如果A包含于B，且A不等于B，就说集合A是集合B的真子集
3.空集：空集是指不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，空集不是无，它是内部没有元素的集合，符号表示为∅
4.交集： 集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B
5.并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B
6.全集：一般的，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U
7.补集：补集一般指绝对补集，即一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在S中的绝对补集，在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集
8.基数：集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)，当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集，一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集
9.真子集与子集的区别：子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等。
九、集合
1. 假设有实数x<y：①[x，y]：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y；②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数
2.分类巩固：①空集：有一类特殊的集合，它不包含任何元素，如{x|x∈R x²+1=0} ，称之为空集，记为∅，空集是个特殊的集合，它有2个特点：⑴空集∅是任意一个非空集合的真子集；⑵空集是任何一个集合的子集；②子集：设S，T是两个集合，如果S的所有元素都属于T，即x∈S⇒x∈T则称S是T的子集，记为S⊆T。显然，对任何集合S，都有S⊆S，∅⊆S，其中，符号⊆读作包含于，表示该符号左边的集合中的元素全部是该符号右边集合的元素，如果S是T的一个子集，即S⊆T，但在T中存在一个元素x不属于S，即S⫋T，则称S是T的一个真子集；③交并集：⑴交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}， 注意交集越交越少，若A包含B，则A∩B=B，A∪B=A ；⑵并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}，注意并集越并越多，这与交集的情况正相反；④补集：补集又可分为相对补集和绝对补集：⑴相对补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作A-B或A\B，即A-B={x|x∈A，且x∉B}；⑵绝对补集定义：A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集，记作A'或∁u(A)或~A，有U'=Φ；Φ'=U；⑤幂集：设有集合A，由集合A所有子集组成的集合，称为集合A的幂集，对于幂集有定理如下：有限集A的幂集的基数等于2的有限集A的基数次幂；⑥区间：数学分析中，最常遇到的实数集的子集是区间，设a，b(a<b)是两个相异的实数，则满足不等式a＜x＜b的所有实数x的集合称为以a，b为端点的开区间，记为(a，b)={x：a＜x＜b}；满足不等式a≤x≤b的所有实数的集合称为以a，b为端点的闭区间，记为[a，b]={x：a≤x≤b}；满足不等式a＜x≤b或a≤x＜b的所有实数x的集合称为以a，b为端点的半开半闭区间，分别记为(a，b]={x：a＜x≤b}及[a，b)={x：a≤x＜b}，除此之外，还有下述几类无限区间：⑴(a，+∞)={x：x＞a}；⑵(-∞，b)={x：x＜b}；⑶[a，+∞)={x：x≥a}；⑷(-∞，b]={x：x≤b}；⑸(-∞，+∞)=R；⑦模糊集：用来表达模糊性概念的集合，又称模糊集、模糊子集，普通的集合是指具有某种属性的对象的全体，这种属性所表达的概念应该是清晰的，界限分明的，因此每个对象对于集合的隶属关系也是明确的，非此即彼，但在人们的思维中还有着许多模糊的概念，例如年轻、很大、暖和、傍晚等，这些概念所描述的对象属性不能简单地用“是”或“否”来回答，而模糊集合就是指具有某个模糊概念所描述的属性的对象的全体，由于概念本身不是清晰的、界限分明的，因而对象对集合的隶属关系也不是明确的、非此即彼的，这一概念是美国加利福尼亚大学控制论专家L.A.扎德于1965年首先提出的，模糊集合这一概念的出现使得数学的思维和方法可以用于处理模糊性现象，从而构成了模糊集合论（中国通常称为模糊性数学）的基础；⑧相等集合：如果两个集合S和T的元素完全相同，则称S与T两个集合相等，记为S=T 。显然有如下关系：S=T<=>S⊆T∧T⊆S，其中符号<=>称为当且仅当，表示左边的命题与右边的命题相互蕴含，即两个命题等价
十、集合互异性相关问题
例题：
1.
十一、集合相等的证明办法
十二、子集相关问题
例题：
1.
2.
3.
十三、集合的交并补混合运算
1.运算定律：①交换律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A；②结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C；③分配对偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；④对偶律：(A∪B)^C=A^C∩B^C；(A∩B)^C=A^C∪B^C；⑤同一律：A∪∅=A；A∩U=A；⑥求补律：A∪A'=U；A∩A'=∅；⑦对合律：A''=A；⑧等幂律：A∪A=A；A∩A=A；⑨零一律：A∪U=U；A∩∅=∅；⑩吸收律：A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=A；⑪反演律（德·摩根律）：(A∪B)'=A'∩B'；(A∩B)'=A'∪B'，文字表述：⑴集合A与集合B的并集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的交集；⑵集合A与集合B的交集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的并集；⑫容斥原理（特殊情况）：⑴card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)；⑵card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)
例题：
1.
2.
十四、集合易错点总结
题型一、考查集合的交、并、补
1、已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5,或x>5},则M∪N=( )
A、{x|x<-5,或x>-3} ；B、{x|-5<x<5} ；C、{x|-3<x<5} ；D、{x|x<-3,或x>5}
A；解析：借助数轴易得M∪N={x|x<-5,或x>-3}。
2、设全集U={1、2、3、4、5}，A={1、2},B={2、3、4}，则（CuA)∪B=( ）
A、{3，4} ；B、{3、4、5} ；C、{2、3、4、5} ；D、{1、2、3、4}
C
3、设全集U=R，集合A={X|0<x<2},集合B{x|x≥1},则（CuA)∩B=（ ）
A、[-1，2] ；B、[-1，0）∪[2，+∞） ；C、[2，+∞） ；D、[-1，0] ∪[2，+∞）
C
题型二、考查集合间的关系
4、若全集U={1、2、3、4、5、6}，M={2、3}，N={1，4}，则集合{5，6}=（ ）
A、M∪N ；B、M∩N ；C、（CuM）∪（CuN） ；D、（CuM）∩（CuN）
D
5、设集合P={m|-1<m<0},Q={m|mx2+4mx-4<0,对任意的实数x恒成立},则下列关系式中成立的是（ ）
A、PⅽQ；B、QⅽP；C、P=Q；D、P∩Q= A
题型三、考查集合的子集
*若集合P的元素有n个，则其子集有2的n次方个，真子集方2的n次方-1个，非空子集方2的n次方-1个，非空真子集方2的n次方-2个。
6、已知集合M={0、1、2、3、4}，N={1、3、5}，P=M∩N,则P的子集共有( )
A、2个；B、4个；C、6个；D、8个
B
7、满足{a,b}包含于M真包含于{a,b,c,d,e}的集合M的个数是（ ）
7个
题型四、集合的创新型问题
8、设A是整数集的一个非空子集，对于k属于A,如果k-于不属于A,且k+1不属于A,那么称k是A的一个“好元素”。给定S={1、2、3、4、5、6、7、8}，，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）
A、6个；B、12个；C、9个；D、5个
A
题型五、求参数的取值范围
9、若不等式|x|<1成立，则不等式[x-(a+1)][x-(a+4)]<0也成立，求a的范围。 【-3，-2】
*易错点：
1、绝对值不等式或平方型不等式范围要写全。如x的平方≤a,
2、用穿针引线法的前题是先将x前的系数化成正的。
3、注意集合中代表元素所有的字母是x，是y，还是(x,y)。如果用的是x，则表示的是函数的定义域；如果用的是y，则表示的是函数的值域；如果用的是（x，y),则表示的是函数的图象。
4、注意集合中x属于N*,x属于N,x属于Z等条件。
5、解不等式时别忘了对数的真数大于0。
例题：
1.
2.
（简单，答案略）
3.
十五、集合的新定义问题考点解析
例题：
1.
2.
3.
十六、集合拓展训练
例题：
1.
2.
十七、全面提升
例题：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
*知识点总结：集合
一、集合的含义
一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合，小写的拉丁字母 a，b，c ，…表示集合中的元素。
二、集合中元素的特性
1.确定性：
集合中的元素必须是确定的。即确定了一个集合，任何一个元素是不是这个集合的元素也就确定了。
2.互异性：
集合中的元素是互异的，即集合元素是没有重复现象的（互不相同）。
3.无序性：
集合中的元素是不讲顺序的，即元素完全相同的两个集合，不论元素顺序如何，都表示同一个集合（不考虑顺序）。
三、元素与集合的关系
1.a属于集合A，表述为a是集合A的元素，记作a∈A。
2.a不属于集合A，表述为a不是集合A的元素，记作a∉A。
四、集合的表示
1.自然语言表示法：1~20以内的质数组成的集合。
2.列举法：把集合中的元素一一列举出来，以逗号隔开，并用花括号“{}”括起来的表示集合的方法叫做列举法。
3.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
4.Venn图示法 ：
如：“book中的字母” 构成一个集合
五、集合的基本运算
1.交集：集合中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集记作A∩B，读作A交B。
2.并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。
3.相对补集：若A和B是集合，则A在B中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B - A = { x| x∈B且x∉A}。
4.绝对补集：若给定全集U，有A⊆U，则A在U中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集），写作∁UA。
5.子集：子回集是一个数学概念。如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。
六、交集和并集知识点解析
1.理解交集的概念应关注四点
(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素。
(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出。
(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝∅。
(4)定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B，而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B。
2.并集的运算技巧
(1)若集合中的元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性。
(2)若集合中的元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值。
3.交集的运算技巧
(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合。
(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性。
4.交集和并集的性质应用技巧
对于涉及集合运算的问题，可利用集合运算的等价性(即若A∪B＝A，则B⊆A，反之也成立；若A∩B＝B，则B⊆A，反之也成立)，转化为相关集合之间的关系求解。
七、全集及补集
1.全集的定义及表示
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。
(2)符号表示：全集通常记作U。
2.对全集概念的理解
“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的。
3.补集
(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算。求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念。
(2)∁UA包含三层意思：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合。
(3)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一。
4.解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解。在解答过程中常常借助于Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象且不易出错。
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算，但在解答过程中要注意边界问题。
5.利用补集求参数应注意两点
(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形。
(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集。
十八、充分条件与必要条件
1.充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件，其中A为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的 真子集 ；若属于B的也属于A，则A与B相等
2.必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式，如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”，数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件
3. 假设A是条件，B是结论：（1）由A可以推出B，由B可以推出A，则A是B的充要条件(A=B)；（2）由A可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的充分不必要条件(A⊆B)；（3）由A不可以推出B，由B可以推出A，则A是B的必要不充分条件(B⊆A)；（4）由A不可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的既不充分也不必要条件(A⊄B且B⊄A)
4. 有命题p、q，如果p推出q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；如果p推出q且q推出p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件，例如：x=y推出x^2=y^2，则x=y是x^2=y^2的充分条件，x^2=y^2是x=y的必要条件，a、b一正一负推出ab<0，ab<0推出a、b一正一负，则a、b一正一负和ab<0互为充要条件，如果p推出q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件举例如下，若没有Q成立，则P也不成立，Q是P的必要条件，如：P: x=1 Q: x^2=1，P是Q的充分条件而不是必要条件（没有x=1,当x=-1,x^2=1)，Q是P的必要条件,没有x^2=1,就没有x=1
例题：
1.
2.
3.
十九、全称量词和存在量词
1.全称量词：全称量词是指在语句中含有短语“全额”、“每一个”、“任意”、“一切”等都是在指定范围内，表示该指定范围内的全体对象或该指定范围整体的含义的词。含有全称量词的命题叫作全称命题，全称量词的否定是存在量词
2. 在某些全称命题中，有时全称量词可以省略，例如棱柱是多面体，它指的是“任意的棱柱都是多面体”，（1）“对全额的”、“对任意的”等词在逻辑中被称为全称量词，记作“∀”，含有全称量词的命题叫做全称命题，对于M中的任意x，都有p(x)成立，记作∀x∈M，p(x)，读作：对于属于M的任意x，都有使p（x）成立；（2）“存在一个”、“至少一个”等词在逻辑中被称为存在量词，记作“∃”，含有存在量词的命题叫做特称命题，M中至少存在一个x，使p(x)成立，记作∃x∈M，p(x)，读作：存在一个x属于M，使p（x）成立；否定：（1）对于含有一个量词的全称命题p：∀x∈M，p(x)的否定┐p是：∃x∈M，┐p(x)；（2）对于含有一个量词的特称命题p：∃x∈M，p(x)的否定┐p是：∀x∈M，┐p(x)
3.全称命题：其公式为“有全额的S都是P”，全称命题，可以用全称量词，也可以通过“人人”等主语重复的形式来表达，甚至可以不使用任何量词标志，如“人类都是有智慧的”由于代数定理使用的是全称量词，因此每个代数定理都是一个全称命题，也正是全称量词使得使用带入规则进行恒等变换是代数推理的核心
4.存在量词：存在量词，短语有些、至少有一个、有一个、存在等都有表示个别或一部分含义的词，含有存在量词的命题叫作特称命题，其形式为有若干的S是P，特称命题使用存在量词，如有些、很少等，也可以用基本上、一般、只是有些等，含有存在性量词的命题也称存在性命题。短语存在一个、至少一个在逻辑中通常叫做存在量词，用符号∃表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题（存在性命题）
5. 定义：短语“有些”、“任何一个”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题叫作特称命题。特称命题 :其形式为“有若干的S是P”，特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题，短语“存在一个”、“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题（存在性命题），例如：(1)只要三角形的任何一个内角是直角，那么该三角形就是直角三角形；(2)有些平行四边形是菱形；(3)有的质数不是奇数，常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某个”、“部分”等，特称命题“存在M中的一个x，使p（x）成立”。简记为：∃x ∈ M，p（x），读作：存在一个x属于M，使p（x）成立
6.主要区别：在语句中含有短语“所有”、“每一个”、“全部”、“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题叫作全称命题，全称量词的否定是存在量。
例题：
1.
2.
二十、命题的否定
1. 命题的否定就是对这个命题的真值进行取反。命题的否定与原命题真假性相反
2. 原命题：所有自然数的平方都是正数；原命题：若p，则q（p为条件，q为结论）；原命题的否定：p且﹁q（p为条件，﹁q为q的否定）；否定一个命题，需要使它的真值取反，对原命题的否定的一个普遍误解是仅需否定结论，下表可以帮助理解：
3. 如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题，命题是否成立，与它的否命题是否成立没有关系。得到一个问题的否命题很容易，把条件，结论全部否定就可以了，如：原命题：所有自然数的平方都是正数；原命题的标准形式：对于任意x，若x是自然数，则x²是正数；否命题：对于存在x，若x不是自然数，则x²不是正数（ 换一个说法就是：所有非自然数的数的平方都不是正数）
4.（1）原命题： 如果一个三角形的三个角全都是锐角，那么这个三角形是锐角三角形（真）；命题的否定：存在一个三角形，且它的三个角全都是锐角，这个三角形不是锐角三角形（假）；否命题： 如果一个三角形的三个角不全都是锐角，那么这个三角形不是锐角三角形（真）；（2）原命题：若a>0,则a>2成立(假)；命题的否定：存在a>0,有a≤2成立(真)；否命题：若a≤0,则a≤2成立(真)
例题：
1.
2.
3.
二十一、逻辑用语习题课
例题：
1.
2.
3.
二十二、函数的基本概念
1.概念：在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
2.自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
3.因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
4.函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
5.定义域：定义域（domain of definition）指自变量x的取值范围
6.值域：函数经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}；常见函数值域：y=kx+b （k≠0）的值域为R；y=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)；y=√x的值域为y≥0；y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ；当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]；y=a^x 的值域为 (0,+∞)；y=lgx的值域为R
二十三、函数的三大要素
二十四、值域上
二十五、值域下
