【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep70】实数完备性第五波定理互推（下）

我们在Ep21聊了“实数完备性”的第一个定理——“确界原理”：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

我们在Ep49介绍了“实数完备性”的第二个定理——“单调有界原理”：单调有界数列必收敛。

我们在Ep61介绍了“实数完备性”的第三个定理——“闭区间套定理”：

1. 闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时——

则这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。

我们在Ep66介绍了“实数完备性”的第四个定理——“柯西准则”——

条件：对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|xn-xn'|<ε；

结论：数列{xn}有极限x，即对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'时，有|xn-x|<ε'。

今天我们来从“柯西准则”推导“单调有界定理”。

（以单增有上界数列为例）——

已知：数列{xn}，对任意n，都有xn<=xn+1，存在实数M，xn<=M；

求证：数列{xn}有极限x，即对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N时，有|xn-x|<ε。

工具：柯西收敛原理（：柯西列必为收敛数列）。

分析：仅仅需要证明数列为柯西列即可。

证明（反证法）——

1. 假设数列{xn}不是柯西列，即存在小数ε0>0，对任意自然数n，有xn+1-xn>=ε0，即xn+1>=xn+ε0；

2. 由1可得，xn+1>=xn+ε0>=xn-1+2ε0>=……>=x1+nε0；

3. 对于任意整数E>0，存在自然数N=（E-x1）/ε0+1，当n>N时，xn>E，即{xn}为无穷大，无上界，导出矛盾，{xn}为柯西列，收敛，证毕。

今天就到这里！