暑假乘除法预备课——学习建议

上篇系统梳理了暑假乘除法预备课（共10节）的内容重点和安排逻辑，这篇接着聊聊应该如何利用好这十节课，聊一聊学生学习乘除法思想上达到的几个阶段。

首先先来阐述我的观点，我是不建议学生盲目去背诵乘法表的，相反，应该特别珍惜小朋友乘法口诀还不熟的这个阶段，它正是锻炼想方设法、用旧知识解决新问题能力的最好时候。简单说，就是用已有的加减法运算能力，去解决乘除法问题，在摸索的过程中，逐步理解乘除法内在的简算逻辑。

学习乘除法的几个阶段：

一、由加到乘

看过上篇课程内容大纲的朋友应该都知道，乘法不是简单的累加，把某个数一步一步加若干次，虽说有规律可循，但也耗时耗力。但小朋友必须经历这个阶段，由加到乘，这是桥梁阶段。

对应到课程，这个阶段是课程的前5节课。

重复加法可以简写成乘法，两个数相乘，根据乘法含义也可以还原回两种加法。在加法眼里很不一样的东西，比如3+3+3+3、4+4+4，站在乘法的角度，都是一样的，4×3，或者3×4，这正体现了乘法比加法更高阶，它的视角比加法更简化。因为乘法满足交换律，所以现在的教材不会区分4个3相加用3×4还是4×3表示，但需要小朋友能够还原成点阵图，从行和列两种方式看待，还原加法的时候做出区分。

这部分内容，小朋友只要加减法没困难，那么学起来就简单轻松，重复加比大小不一没规律可循的加法好算太多了，刚上手乘法甚至会有种错觉，乘法比加减法容易多了。

这几次课学完，教辅里面乘法引入的部分都可以做了，还有2、5、10乘法这些，最好是完整地做一本教辅，不要这本做两页，那本写3篇，看到谁分享的资料赶紧打印出来交给孩子。这样难度参差不齐，内容重漏太多，详略不当，没有系统，后续也很难安排。

二、乘法的简算逻辑

这个阶段接触的才是乘法的核心算理，和依次累加有着明显的不同，是真正的简算逻辑。分为两个层次：

一是把乘法看作是更为灵活的倍数相加减，比如9×8，看作是8个9相加，那么可以先算4个9，然后再加倍；也可以先算5个9，再加3个9······看作是9个8相加，那么可以先算3个8，然后这样的3份就可以······按个累加升级为按群计数。

对应到矩形网格图，就是单纯地把网格按列切或者按行切，行列不混合。

对接到后面的知识点就是乘法分配律。

二是更为灵活的进一步用分配律任意切补的加减。对标到后面的知识点就是初中的多项式相乘，把字母都换成数。

第6课分割矩形算乘法，利用第5课5个5个数、10个10个数深化而来的5的倍数，10的倍数来计算大一点的乘法，正是多项式相乘的雏形。多项式相乘，有图有真相，一点都不难。

第10课中的大数相乘，也是这个思想的进一步应用，只不过表内乘除法熟练后，分块可以切割得更大，可以算出更大数的乘法。在学习乘法竖式之前先这样铺垫，计算就不会枯燥，后续学习也能更灵活。最重要的一点，还是用旧知识解决了新问题，把自己的知识体系又自然向后延伸。

这节课学完， 教辅中其他3、6、9、7这些数的乘法都可以做了，用分块的方法计算，完成后顺便记一记口诀。如果教辅中涉及到除法，可以学完第7课再做。

三、对除法的理解

除法的核心是它是一个动态分配的过程，计算的过程一轮一轮不断涉及到乘法和减法，无论是用竖式还是其他方法，都是这样，不同的是每轮分配的数量可大可小，过程可简可繁，技能越熟练，越能尽快分完。

但表内除法，通过背口诀计算，可以轻松避开这个过程，这就是小学低年级阶段成绩的迷惑性，为什么计算都会，难一点的应用题别人会你就不会。如果一开始学除法就用笔头去列表格，列出分配的过程，把算式当作应用题去理解，那么以后遇到的所谓的奥数专题，比如盈亏问题，学起来就没难度。

 为什么乘法口诀不熟练没背过，遇到题目就无从下手？为什么计算都会，稍微难一点的应用题就不会？为什么老是用的时候就忘了余数要比除数小？低年级的成绩具有迷惑性，因为卷面计算占大头，到三四年级就原形毕露，单纯地练计算很快就行不通了。

商×除数+余数=被除数 ，这个就不是公式，就是乘除法的相互转换。这一阶段的学习，道理理解起来不难，讲义可以慢慢尝试分配的方法去计算。

但如果想要又快又好去做教辅，掣肘的地方还是数感不强，看不出基本的2倍数关系，更别说其它，加减法分拆数也不熟练，乘法口诀也不熟。学到这里，我们已经提前很多了，还有一学期的时间给小朋友学习和消化，适当缓缓，顺手了再做，不要让小朋友产生畏难情绪。

四、乘除法内化

这应该是很后来的事情了，不是每周两节，上完五周十次课就可以达到的层次。

这个阶段不仅要知道7×8=56，更要知道56在乘法口诀中是七八五十六，就是会秒速倒推口诀。

还要知道56是2的倍数，也是4的倍数，会很快算出另一个因数。还有就是56的分拆，是两个28，是40和16，40又是五八四十······

再往后面链接就是三四年级的内容了，二年级还是过渡阶段。

• 一方面，二三年级会到两位数的乘除法，计算量增加很多；

• 另一方面，加减乘除混合，对运算性质的理解，巧算（主要是乘法分配律和结合律的应用），添括号去括号······这些对计算的综合能力要求很高；

• 再一方面，应用题难度提升，加减乘除的算理相结合，引申出和差倍问题，对理解力的要求更高。

• 还有就是，直接对接后面要学习的因数倍数，最小公倍数最大公约数，整除性质，分解质因数······无论是课本还是课外奥数学习，都是很重要的内容，而这些，又是五六年级重点——分数学习的前提。

说这么多，就是想说，数学学习从来不是划模块列目录一节一节学习就能逐一攻克各个击破的，小学的知识点并没有那么多，它们也都不是点。教材的目录，只是把内容合理分配在学年时间段上的教学安排，技能的熟练，得多用，多练，知识的内化，还得多想，多悟。