实验只能给出一个感性的印象，我们还需要理论证明

牛顿253、实验只能给出一个感性的印象，我们还需要理论证明

 

欧多克索斯（Eudoxus）：…

 

第二个贡献

 

欧多克索斯对数学的第二个贡献是建立了严谨的穷竭法，并用它证明了一些重要的求积定理。

…数、学、数学：见《欧几里得49》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…严、谨、严谨：见《欧几里得155》…

…穷、竭、穷竭，法，穷竭法：见《牛顿245~251》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

…积：见《牛顿19》…
…定、理、定理：见《欧几里得2》…

 

穷竭法起源于安蒂丰（Anti-phon），后来希波克拉底（Hippocrates）也使用过，但只是到了欧多克索斯手里，穷竭法才真正成为一种合格的几何方法。

…安蒂丰：见《牛顿246》…

…希波克拉底（古希腊文：Ἱπποκράτης，前460年——前370年）：为古希腊伯里克利时代的医师，被西方尊为“医学之父”，欧洲医学奠（diàn）基人…

（…奠、基、奠基：见《欧几里得115》…）

 

…几、何、几何：见《欧几里得28》…

…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

 

穷竭法的逻辑依据，是欧多克索斯由上述定义4推得的下述结果：“设给定两个不相等的量，如果从其中较大的量减去比它的一半大的量，再从所余的量减去比这余量的一半大的量，继续重复这一过程，必有某个余量将小于给定的较小的量”。

…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…

…依、据、依据：见《欧几里得65》…

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

…上述定义：见《牛顿252》…

…量：见《欧几里得27》…

…过、程、过程：见《欧几里得194》…

 

这个结果，现在被称为欧多克索斯原理。

…原、理、原理：见《欧几里得41》…

 

阿基米德曾明确地指出，“棱锥体积是同底同高的棱柱体积的三分之一”和“圆锥体积是同底同高的圆柱体积的三分之一”这两个定理是欧多克索斯首先予以证明的。不过前一个结论曾先由德谟（mó）克利特（Democritus）未加证明地提出过。

…结、论、结论：见《欧几里得66》…

…德谟克利特（希腊文：Δημόκριτος，约公元前460年～公元前370年）：见《牛顿193》…

2018-08-27 11:15，网友“数学教学研究”发表一篇名为《为什么三棱锥体积是三棱柱的三分之一》的文章。

…研、究、研究：见《欧几里得42》…

文章内容：

 

我们在学校里都学习过棱柱和棱锥这些立体，其中就包括它们体积的计算公式。

…体：见《欧几里得27》…

…体积（百度百科）：几何学专业术语。

（…术、语、术语：见《欧几里得67》…）

当物体占据的空间是三维空间时，所占空间的大小叫做该物体的体积。

[…空、间、空间：见《伽利略10》…

（…《伽利略》：小说名…）]

体积的国际单位制是立方米。

一维空间物件（如线）及二维空间物件（如正方形）都是零体积的…

 

…体积（百度汉语）2：表示物体所占空间大小的量…

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

…公：见《欧几里得1》…

…式、公式：见《欧几里得132》…

 

我们说一个棱锥的体积是同底等高的棱柱的体积的三分之一。

这当然是正确的，但是，包括您在内的我们，是不是在心里问过，为什么就是三分之一？怎么不是二分之一，也不是四分之一呢？或是其他的什么分之一？

…正、确、正确：见《欧几里得13》…

 

我就反问过自己。

虽然看到过做实验，比如用豆子或小米或水，但实验只能给出一个感性的印象，我们还需要理论证明。

…实、验、实验：见《欧几里得11》…

…感、性、感性：见《牛顿119》…

…理、论、理论：见《欧几里得5》…

 

我怎么也看不出来这个三分之一是怎么得到的。后来也学习了圆锥的体积是同底等高圆柱体积的三分之一。

反正这个三分之一也不难记，我们就记住它了。

几十年过去了，我现在搞懂了，所以，我想在这里把这个三分之一是怎么得来的讲给您听，也许你知道，也许不知道，但相信这其中的奥妙仍然会很吸引人。

请您继续往下看，不会让您失望的。

 

我们画一个三棱柱ABC-DEF，如下图所示。注意，不要求它是“直”的，即侧棱不一定与底面垂直。更不要求它是“正”的，即底面不一定是正三角形。

这样的三棱柱，它的上、下底面是全等的三角形，并且经平移可以互相重叠；它的三个侧面都是平行四边形。

接下来，我们连接DB和DC。于是，D-ABC是一个与三棱柱同底等高的三棱锥。我们要证它的体积是三棱柱体积的三分之一。

若可以得证，则三棱锥体积是同底等高三棱柱体积的三分之一这一结论就成立了。

 

这个结论是通用的，即不管这个三棱锥是什么样子，公式都成立。

这是因为我们总可以在先有一个三棱锥的情况下，构造出一个同底等高的三棱柱，让这个三棱柱的一条侧棱就是三棱锥的一条侧棱（比如上图中的AD）。

于是，三棱柱ABC-DEF就被分割成了两部分：三棱锥D-ABC和四棱锥D-CBEF（注意，我们在表示一个棱锥时，是把锥顶字母写在前面，后面画一短杠，再接着写表示底面的字母）。

接下来，我们连接BF，即四棱锥D-CBEF底面平行四边形CBEF的对角线。

于是，四棱锥D-CBEF可以看成是由两个三棱锥构成的：D-CBF和D-BEF。因为它们有相同面积的底面CBF和BEF，并且等高，所以体积相等。

下面只需证明这两个三棱锥之一与D-ABC体积相等。

 

有两种方法来证明，都很简单。

…简、单、简单：见《伽利略13》…

 

方法一，把三棱锥D-BEF写成B-DEF，就相当于我们以B为顶点以DEF为底面，于是，显然，三棱锥B-DEF与三棱锥D-ABC因等底等高而体积相等。

 

方法二是，把三棱锥D-CBF写成B-CDF，而B-CDF与B-ACD（即D-ABC）等底等高，体积相等。

 

最终，我们证明了这个三棱柱被分成的三个三棱锥的体积相等，而其中一个就是与三棱柱同底等高的三棱柱，所以，我们最终就证明了一个三棱锥的体积等于同底等高三棱柱的体积的三分之一。

 

最后需要说明，任意棱锥的体积等于同底等高的棱柱的体积的三分之一，是因为我们可以把棱锥分割成一个个的三棱锥。把它们加起来即可。

…说、明、说明：见《欧几里得149》…

 

“2021-07-13 14:52:27，网友“LILYBLOSSOMING”发表一篇名为《与儿子的对话——为什么圆锥体的体积是等底同高圆柱体的三分之一》的文章。

请看下集《牛顿254、为什么圆锥体的体积是等底同高圆柱体的三分之一》”

若不知晓历史，便看不清未来

欢迎关注哔哩号“中国崛起呀”