【高等数学第14讲】罗尔定理——将各种证题思路和构造辅助函数的通法及变式一网打尽

第十四章 中值定理（2）——罗尔定理

一、知识点

1. 罗尔定理：
   

   01:09

   
2. 内容：
3. 条件：如果f(x)满足：①[a,b]上连续；②(a,b)内可导；③f(a)=f(b)
4. 结论：则存在ξ属于(a,b)，使得f'(ξ)=0
5. 几何直观：
   

   03:37

   
6. 注解：
7. 对于一个给定的函数f(x),和给定的区间[a,b]，ξ这个“中值”是确定的。
   

   09:40

   
8. ξ未必只有一个
   

   13:02

   
9. 罗尔定理是充分非必要条件。

二、证明

1. 罗尔定理证明（使用费马引理）：
   

   04:44

   
2. 关于证明f(ξ)的n阶导等于0：
   

   14:08

   
3. 方法：用罗尔定理证题，关键是要找两点函数值相等，如果条件没有明确告诉你，考虑用平均值原理。
4. 一阶导等于0：找f(a)=f(b)
5. 二阶导等于0：
6. 法1：找f(a)=f(b)=f(c)
7. 法2：找f'(ξ1)=f'(ξ2)
8. 例题：
9. 

   16:03

   
10. 

    20:38

    
    ：介值定理
11. 

    27:30

    
    ：积分中值定理+介值定理
12. 

    32:26

    
13. 

    35:60

    
14. 需要构造辅助函数的证明（还原法）：
15. 

    40:18

    
16. 注意看第二小题是怎么通过分析构造出原函数的。
17. 

    47:23

    
18. 

    53:03

    
19. 

    59:17

    
20. 化归成“还原法”的类型：
    

    01:04:55

    
21. 

    01:05:45

    
22. 

    01:13:51

    
23. 差两阶化成差一阶
24. 

    01:23:33

    
25. 含两个函数，或同时含有中值和常数的类型：
    

    01:30:54

    
26. 

    01:31:23

    
27. 看构造原函数的过程
28. 

    01:36:05

    
29. 

    01:40:15

    

三、计算

1. 对罗尔定理中的中值ξ的理解：
   

   11:36