《微积分（第三版）》复习重点（上篇））
我不应该发视频的，应该写个专栏……
——————————————————— 1-函数
三角函数：
sin x, cos x, tan x, cot x=1/tan x, sec x=1/cos x, csc x=1/sin x. 反三角函数：
arc xxx（例：若t=sin θ，则arcsin t=θ） 二倍角公式：
sin2x=2·sinx·cosx cos2x=cos²x-sin²x＝2cos²x-1=1-2sin²x 万能公式（设t＝tan(x/2)）
sinx=2t/(1+t²)； cosx=(1-t²)/(1+t²) tanx=2t/(1-t²)
——————————————————— 2-极限
↗≠0，除法法则 分母 ↗≠0，取倒数→∞ ↘＝0，看分子 ↘＝0，因式分解，约去零因子 重要极限
lim(x→0) sinx/x＝1 lim(x→0)tanx/x＝1 lim(x→0)(1-cosx)/½x²＝1 lim(x→∞)（1+1/x）ˣ＝e lim(x→∞)（1-1/x）ˣ＝e⁻¹ lim(x→0)（1+x）¹/ˣ＝e 高阶无穷小：
limβ/α＝0，β＝o（α） 等价无穷小：
limβ/α＝1，β~α （充要条件：β＝α+o(α)） △乘除用，加减不用 sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x eˣ-1~x ln(1+x)~x (1+x)ⁿ-1~nx 连续（一笔画）
条件：f（x）在x₀处有定义，lim（x→x₀）f（x）存在且＝f（x₀） 可导（光滑曲线）
上图不可导，求证如下
间断点（分为两大类）
第一类间断点（存在左右极限）↗①可去间断点：x₀为间断点，但lim（x→x₀）f（x）存在 ↘②跳跃间断点：x₀处左右极限存在但不相等 第二类间断点（左右极限至少一个不存在）↗①无穷间断点：x₀是间断点，且lim（x→x₀±）f（x）＝∞ ↘②振荡间断点：在某范围无限次振荡，且不趋于某一固定值 零点定理：
如果f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号（f(a)·f(b)＜0），那么至少存在一点ξ∈（a，b）使得f（ξ）=0。 ——————————————————— 3-导数
☆可导一定连续，连续不一定可导
导数几何意义
切线：y-f（x₀）=（x-x₀）·f'（x₀） 法线：y-f（x₀）=-（x-x₀）/f'（x₀） 求导法则：
[u（x）±v（x）]'=u'（x）±v'（x） [u（x）v（x）]'=u'（x）v（x）+u（x）v'（x） [u（x）/v（x）]'=[u'（x）v（x）-u（x）v'（x）]/v²（x） [Cv（x）]'=Cv'（x）（C为常数） 反函数求导法则：
f'（x）＝1/g'（y）或 dy/dx=1/（dx/dy） 复合函数求导法则：
y=f[φ（x）]， 设φ（x）=u，则y＝f（u），u=φ（x） ∴y'=f'（u）·φ'（x） （链式法则。内外皆导为复合） ☆求导公式
（arc导记忆：sin减根tan加co反） 高阶导数
（0）[Cv（x）]⁽ⁿ⁾=C·v⁽ⁿ⁾（x） （1）[u(x)±v(x)]⁽ⁿ⁾=u⁽ⁿ⁾(x)±v⁽ⁿ⁾(x) （2）[u(x)v(x)]⁽ⁿ⁾=
（2）为
莱布尼茨公式
，它的形式与二项式定理类似。 ☆隐函数
△隐函数中，求x导时务必将y看做是x的方程，即y要求导，导后另加y'（dy/dx）便可 例：x-y+siny=0求导 答：方程两边分别对x求导（这句不能省略！），得 1-dy/dx+cosy·dy/dx=0 dy/dx=1/（1-cosy） ☆参数方程
有一个参 /x＝φ（t） 数方程： \y=ψ（t） 求导时把t代入其中， y'=dy/dx=(dy/dt)/(dx/dot)=ψ'(t)/φ'(t) *若是求参数方程二阶导数， 则将一阶导数dy/dx=ψ'(t)/φ'(t)对t求导， 再乘以1/φ'（t）（这一步勿忘） ——————————————————— 4-微分
记住dy＝f'（x）dx （记住➕dx） 微分公式：
（和求导公式几乎一样） 函数和差积商微分法则
复合函数微分法则
有y=f（u）及u=φ（x）都可微，则y=f[φ（x）]的微分为 dy=y'dx=f'[φ（x）]φ'（x）dx 即dy=f'（u）du ——————————————————— 5-中值定理
相同前提条件：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导 罗尔定理
f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a）=0/（b-a）=0 （f(b)=f(a)） 拉格朗日中值定理
f(b)-f(a)=f'(ξ)（b-a）或写成 f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a） （类似于点斜式） 柯西中值定理
f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]（g(ξ)≠0） 关联法：比拉格朗日中值定理多个g(ξ) 即f'(ξ)/g'(ξ)=〔[（f(b)-f(a)）/（b-a）]/[（g(b)-g(a)）/（b-a）]〕=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]（g(ξ)≠0）
（简图） 拉格朗日中值定理可推出
有限增量公式
△y=f'(x₀+θ△x)·△x （0＜θ＜1） 拉格朗日中值定理
推论
： ①若函数f（x）在区间I上导数恒为零，那么函数f（x）在区间I上是一个常数。 ②若f（x）和g（x）在区间I上只相差一个常数，即存在一个常数C，使得f（x）=g（x）+C。 ——————————————————— 5.1-洛必达法则
（一）0/0型和∞/∞型
设f（x）和g（x）在点x₀的某一去心邻域内有定义，且满足下列条件： （1）lim（x→x₀）f（x）=0，lim（x→x₀）g（x）=0（或∞）； （2）f'（x）和g'（x）都存在，且g'（x）≠0； （3）lim（x→x₀）[f'(x)/g'(x)]=A（或∞）， 那么 lim（x→x₀）[f(x)/g(x)]= lim（x→x₀）[f'(x)/g'(x)] 注意：上述为充分不必要条件！ 遇到lim（x→x₀或x→∞）[f'(x)/g'(x)]不存在且不为∞时，不能断定lim（x→x₀或x→∞）[f(x)/g(x)]也不存在， 即求导后无极限，不代表导前无极限。 （记：小明没有孩子，不代表小明爸爸没有孩子） ***每一步都需要校验，别盲目洛。 ***洛必达法则与重要极限与等价无穷小配合使用 （二）其他型
①0·∞型
②∞-∞型
③0⁰型
④1的∞次方型
⑤∞⁰型
（读者导图） 次方型（③④⑤）取对数转化为0·∞型； 0·∞型取倒数转化为（一）； ∞-∞型通分转化为（一）。 例子略。 ——————————————————— 5.2单调性&极值&最值&凹凸性
单调性&极值&最值在高中数学学过，简略带过。 单调性判别法：
找驻点（f'(x)=0）&不可导点（导数不存在）并求出。 可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点（如下图-省略x0y-x₀不是极值点）
导数不存在点可能是极值点（如下图-省略x0y）
记忆方法如下图：
求极值点和极值步骤 ①确定定义域，求导 ②找出驻点和导数不存在点 ③分区域，确定导数正负（列表） ④确定极值 极值第二充分条件
设f(x)在x₀处具有二阶导数，且f'(x)=0,f''(x)≠0， （1）若f''(x)＜0，那么f(x)在x₀处取极大值； （2）若f''(x)＞0，那么f(x)在x₀处取极小值。 （记：物极必反） 最值只能在极值点和端点找到。 凹凸性
定理：设f（x）闭区间连续，开区间可一、二阶导， （1）若在开区间内f''(x)＞0，那么曲线弧y=f（x）在闭区间上是凹的； （2）若在开区间内f''(x)＜0，那么曲线弧y=f（x）在闭区间上是凸的。 （物极必反） y=f（x）上凹部和凸部的分界点，称为曲线y=f（x）的拐点（拐点是点）。
步骤 1确定f（x）连续区间，求一、二阶导； 2求二阶导=0及二阶导不存在的所有点； 3分区间讨论正负； 4判断凹凸性，求拐点。 记：极值点-一阶导；拐点-二阶导。 ——————————————————— *未考研，泰勒公式暂时不做考虑，见谅。
——————————————————— 6-不定积分
∫F(x)dx=f(x)+C （C为任意常数） ∫：积分号； F(x)：被积函数；dx：积分变量 F(x)和dx和为被积表达式。 ***F(x)在区间I上的全体原函数，称为F(x)的不定积分（注意：
C勿忘添加！
） 基本积分表
换元积分法
第一换元积分法（凑微分法）（“拿进法”） ①把d外边的某项拿进d内（变成原函数） ②凑成基本积分公式 ③注意，d里面的项可随意加减常数（C），如dx²可变为dx²-1、dx²+3等。 过程：∫g(x)dx=（恒等变形） ∫f[φ(x)]φ'(x)dx=（凑微分） ∫f[φ(x)]dφ(x)=（令φ(x)=u） ∫f(u)du=（若F'(u)=f(u)） F(u)+C=（回收u=φ(x)） F[φ(x)]+C 第二换元积分法（“换元法”）
被积函数含有 ①ⁿ√（ax+b）、②√（a²-x²）、③√（x²+a²）、④√（x²-a²）、⑤较高分母阶 时可以采用第二换元积分法。 ①设x=tⁿ换元（n取最小公倍数）； ②设x=asint；③设x=atant；④设x=asect （②③④可以自行运用三角函数辅助做题&验证） ⑤采用倒代换，x=1/t 分部积分法
作用：逐步化简，产生循环，建立递推公式。 前提：∫uv'dx难求，∫u'vdx易求。 优先：反对幂指三 ∵（uv）'=u'v+uv'，uv'=（uv）'-u'v ∴∫uv'dx=uv-∫u'vdx或 ∫udv=uv-∫vdu（相乘-交换） 有理函数与有理函数的不定积分
有理函数部分不再赘述。 有理函数的不定积分
类型
： （1）分母含有因式（x-a）ᵏ，则分解为 A1/(x-a)+A2/(x-a)²+...+Ak/(x-a)ᵏ （2）分母含有因式（x²+px+q）ᵏ，其中p²-4q＜0，则分解为 (M1x+N1)/(x²+px+q)+(M2x+N2)/(x²+px+q)²+...+(Mkx+Nk)/(x²+px+q)ᵏ（Mk,Nk都是常数） 三角函数有理式的不定积分
万能代换t=tan（x/2），
再使用万能公式即可。 万能公式（设t＝tan(x/2)）：
sinx=2t/(1+t²)；cosx=(1-t²)/(1+t²)；tanx=2t/(1-t²)
