《几何原本》命题3.11【夸克欧氏几何】

命题3.11：

如果两圆内切，那么两圆圆心的连线经过切点

已知：圆ABC，圆ADE，点A为两圆切点，点F为圆ABC的圆心，点G为圆ADE的圆心

求证：点A，F，G在同一直线上

解：

设点A，F，G不在同一直线上

连接GF，AF，AG

（公设1.1）

延长FG，与圆ABC交点记为点H，与圆ADE交点记为点D

（公设1.2）

证：

∵点F为圆ABC的圆心

（已知）

∴AF=DF

（定义1.15）

∵△AFG中，AG+GF＞AF

（命题1.20）

∴AG+GF＞DF

（公理1.1）

∴AG＞DG

（隐藏公理）

∵点G为圆ADE的圆心

（已知）

∴AG=DG

（定义1.15）

∴大的等于小的，这是不可能的

∴点A，F，G在同一直线上

证毕

此命题将在命题3.13中被使用