本文主要讨论如何从已知的场源 ， 来求解电磁场。阅读本文需要具备电动力学和矢量分析的基础知识。

场方程

从麦克斯韦方程组出发，

1. 

2. 

3. 

4. 

(2) 式表明，存在矢量场 ，使得

代入 (3) 式，并交换求导次序可得，

上式括号内的部分为无旋场，说明存在标量场 ，使得

于是电磁场可以表示为，

其中  为电势， 为磁矢势。将这两个式子代入 (1) (4) 两式，可以得到势场的场方程，

其中  为真空中的光速。

容易验证，对任意标量场 ，当  进行如下联合变换时，

电磁场保持不变。该变换称为规范变换。

即  和  可以描述同一电磁场。这个性质说明势场方程存在一定的自由度，利用这一点可以将方程化为更简单的形式。假设，

规范变换后变为

对任意的 ，我们可以通过求解有源波动方程找到 ，使其满足

也就是说，我们总能通过规范变换，使得

满足上式要求的势场被称为洛伦兹规范。

于是，场方程化为形式上对称的有源波动方程，

定义达朗贝尔算符（D'Alembert Operator）

定义四维矢势和场源，

于是场方程可以简化为，

有源波动方程

利用傅里叶变换，

可以得到频域中的方程，

其中  。利用格林函数来求解，设  满足，

其中  为源点， 为场点。形式上可以写出频域中的通解，

于是问题变为求解 。对于无界空间的基本解， 函数应与方向无关，只与源点到场点的距离有关，

其中 。当  时，方程简化为，

显然这个方程描述的是点电荷在无界空间中产生的静电势，此时的解为

由此我们可以猜测， 拥有如下形式，

其中  为待定函数，在  时，有 。当  时，我们在以  为原点的球坐标中写出方程，

化简得到关于  的方程，

其解为，

利用  可知 ，所以求得格林函数为，

由此可以求出频域中的两个解，

再利用傅里叶变换，

Jefimenko 公式

上一节通过求解有源波动方程得到了数学上的两个解，但在实际的物理场中，场源产生的影响会以光速传播出去，在推迟了  的时间后到达场点，即  时刻的场点由  时刻的场源决定。所以物理解应该采用推迟势(Retarded potential)，

可以发现上式与静电场、静磁场的势具有相似的形式。写出电势与磁矢势，分别为，

其中下标  表示取推迟时间 。

接下来通过势场求电磁场。计算如下几项导数，

电磁场为，

此即 Jefimenko 公式，是 Coulomb 定律和 Biot-Savart 定律的含时推广。

点电荷

设点电荷电量为 ，运动轨迹为 ，速度为，

 

由此可以写出场源的分布，

设 ，其单根为 ，即

利用 delta 函数的性质，

其中  是  的实单根。对于复合矢量场的情形，分母对应 Jaccobi 行列式在单根处的值，

分母的矩阵元为，

将行列式记为 ，

于是 delta 函数变为，

代入推迟势可得，

这就是点电荷的 Liénard–Wiechert 势。