路径积分
不知不觉躺着上了千粉。最近一直在鸽，颇为惭愧，但是物理确实太难了，还想讲些什么，但总是觉得要么言之无物，要么自己也没学明白。只能学一步算一步。
路径积分是很有意思的内容，想单独就这个内容写一个难度低一些，偏科普性质的笔记。
本文参考了本学期规范场论的课堂讲授内容、Peskin量子场论第9章和费曼的《量子力学与路径积分》。
路径积分是量子力学的一种很有意思的表述，费曼的著名操作。
这种思想可以从多面屏的干涉装置中得到启发。最经典的杨氏双缝干涉装置，是先让光源通过单缝的屏以控制光程，进而通过双缝的屏而在最终的观察屏上。这个装置可以进行各种改变，如双缝可以变成多缝或光栅、缝宽度与形状可以改变。最终观察到的衍射图案也会相应改变。
无论如何，只要每一面屏上透光的区域是已知的，整个衍射的结果也可以基于波动光学严格地计算出来，具体来说只要对每一面屏上的透光区域进行积分。
随着量子力学的发展，我们都了解到所有物质都具有波动性。例如类似的装置中，用电子同样可以观测到干涉。这些干涉过程理应可以用量子力学计算出结果，且和波动光学的结果类似。
由此我们有理由考虑量子力学的一种表述，可以基于粒子前进路径上对每一面屏上透光区域积分而计算粒子通过衍射装置到达某个末态的振幅。
换一种说法，也可以认为是对粒子每一种通过各种缝的方式进行积分。
我们进而考虑一种推广：即使那里没有任何屏在遮挡，其实也可以相当于一个完全透过的屏。多一个这样的屏，对计算结果不应有影响。
如果再进一步考虑，整个空间中其实可以看作无数个完全透过的屏。这种思想其实在波动光学就有，菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式就是这种思想。
如果我们要对每一个屏的每一种通过方式进行积分，实际上就相当于考虑从起点到终点的所有可能的路径。
这就是路径积分的思想。
路径积分公式
都说每多一个公式就要少一半读者。但是讲这个东西总要涉及具体的计算，不然也不能算讲明白。
路径积分说的是：粒子经过 T 时间从 a 点到 b 点的振幅，是由这段时间里从 a 到 b 所有可能的路径 x(t) 决定的，每条路径贡献相同的振幅，只有指数上的相位不同，这个相位由路径的经典作用量 S[x(t)] 决定。
这里， 表示对所有可能的 x(t) 积分，
是路径 x(t) 的经典作用量。
现在还存在一个问题： 实际上还未得到良好的定义。什么叫“对所有路径积分”？如何去穷举所有的路径才做到没有遗漏？
这里用的方法是先将时间离散化，再取间隔趋于0的极限。将时间 T 分为 N 份，每份时长 ε.
这样，就可以积分每一小段时间末尾的位置，以这种方式穷举全空间的所有路径。
其中 C(ε) 是一个和 ε 有关的归一化常数，后续的计算会确认它的值，它避免了整个积分的发散。最后，对这个N重积分取极限N→∞，就是我们要定义的路径积分。
至此，我们算是比较完整地对量子力学的路径积分表述给出了定义。
接下来分析为何这个形式的路径积分可以正确表述量子力学。
经典极限
一个量子理论要正确，首先要求它在 h→0 的经典极限下给出一个经典的结果。毕竟宏观低速弱场条件下，我们迄今尚未观察到任何违背经典力学的物理现象。
关于如何思考路径积分的经典极限，费曼在他的《量子力学与路径积分》中给出很巧妙的说明。
首先要说，我上面给出的公式中用的是 的自然单位制。如果要取经典极限，指数上应是
，而 hbar 经典极限下趋于0.
考虑一些互相很接近的路径，如果这些路径的作用量 S 也相应地不同，那么指数上的相位，由于分母极小，必然会出现剧烈的振荡。这样一来，附近的大量路径贡献的相位都在剧烈的振荡中，这些路径互相抵消，最后对路径积分总的贡献就没了。
但是，如果存在一条路径，和它附近的路径作用量几乎都一样，这时候路径积分在这个路径附近就是以很接近的相位互相叠加，这条路径就会贡献很大的振幅。
事实上，根据最小作用量原理，这条贡献振幅的路径正是经典路径。这就是路径积分的经典极限。
路径积分与其他表述的等价性
我们当然还应当从上面这个路径积分的定义出发证实路径积分表述和其他表述的等价性。
从薛定谔汇景出发，同样可以计算粒子从a到b的振幅，应该是
根据薛定谔方程，应有
不难验证前式的 U 是满足的。我们应当证明路径积分给出的振幅 U 也满足薛定谔方程。
不过啊，这里我想起了一位叫费马的大数学家，他曾说：这里空间太小，写不下。这里的计算确实比较多，不太适合用专栏编辑。
省略诸多过程的一个简记手稿，大家将就看看。
这只是对一维情况的证明。当然，高维情况也是有办法证明的。
这就是量子力学的路径积分表述。
