直线思维求解2023广东中考解析几何大题

2023广东中考最后一题居然考察到了简单的三角函数恒等变换。下面用最简单的方法直线思维从已知条件到结果求解（几乎不做辅助线）：

铺垫：

对于任意角θ，恒有(sinθ)^2+(cosθ)^2=1

角的正切函数恒有：tanθ=sinθ/cosθ

解答：

(1)22.5°（△OCF≌△OAE，∠EOF=45°）

(2)过A做x轴垂线AH交x轴于H

则：∠AOH=∠FOH-∠FOA=90°-∠FOA=∠COA-∠FOA=∠FOC

又有∠OCF=∠OHA=90°

⇒△OCF∽△OHA

⇒FC/AH=OC/OH

⇒FC=AH*OC/OH=AH*OA/OH=3*√(3^2+4^2)/4=15/4

(3)不失一般性，令OA=OC=1，设AO与x轴正半轴的夹角为θ

则：A(cosθ,sinθ)

∠COF=90°-∠FOE=θ

则：C(-sinθ,cosθ)

由(2)中的结论，FC=AH*OA/OH=sinθ*1/cosθ=tanθ

OF=√(OC^2+CF^2)=√(1^2+(tanθ)^2)=1/cosθ

则：F(0,1/cosθ)

接下来求点N的坐标：

AC的方程：y-sinθ=(cosθ-sinθ)/(-sinθ-cosθ)*(x-cosθ)

OE的方程：y=x

联立解得：

x=1/(2cos(θ))

y=1/(2cos(θ))

则：N(1/cos(2θ),1/cos(2θ))

则：S=S1-S2=1/2*OF*xN-1/2*OC*CF

=1/2*1/cosθ*1/(2cos(θ))-1/2*1*tanθ

=1/(4(cosθ)^2)-1/2*tanθ

有了θ与S的关系，但题目已知条件为n，所以还需要求出θ与n的关系：

AN的距离为：

√((cosθ-1/(2cosθ))^2+(sinθ-1/(2cosθ))^2)=n

两边平方并化简得：

1/(2(cosθ)^2)-tanθ=n^2

所以S=1/(4(cosθ)^2)-1/2*tanθ=n^2/2

关于此题的讨论：

广东中考对于三角函数的一些计算已经达到了熟练要求的程度。这已经超过以前数学竞赛的要求了，但学生别无选择只能掌握。