面积最大的圆内接四边形（2022全国乙，9）

2022-12-27 22:43 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2022全国乙，9）已知球 $O$ 的半径为 $1$ ，四棱锥的顶点为 $O$ ，底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A. $%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D$

B. $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$

C. $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D$

D. $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D$

解：

设底面四边形为 $ABCD$ ，

其所在圆的半径为 $r$ ，

设 $%5Cangle%20AOB%3D%5Calpha%20$ ， $%5Cangle%20BOC%3D%5Cbeta%20$ ，

$%5Cangle%20COD%3D%5Cgamma%20$ ， $%5Cangle%20DOA%3D%5Cdelta%20$ ，则

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09S_%7B%5Ctext%7B%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2%7DABCD%7D%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Csin%20%5Calpha%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Csin%20%5Cbeta%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Csin%20%5Cgamma%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Csin%20%5Cdelta%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Cleft(%20%5Csin%20%5Calpha%20%2B%5Csin%20%5Cbeta%20%2B%5Csin%20%5Cgamma%20%2B%5Csin%20%5Cdelta%20%5Cright)%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Cleft(%202%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Calpha%20%2B%5Cbeta%7D%7B2%7D%5Ccos%20%5Cfrac%7B%5Calpha%20-%5Cbeta%7D%7B2%7D%2B2%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Cgamma%20%2B%5Cdelta%7D%7B2%7D%5Ccos%20%5Cfrac%7B%5Cgamma%20-%5Cdelta%7D%7B2%7D%20%5Cright)%5C%5C%0A%09%26%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Cleft(%202%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Calpha%20%2B%5Cbeta%7D%7B2%7D%5Ccdot%201%2B2%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Cgamma%20%2B%5Cdelta%7D%7B2%7D%5Ccdot%201%20%5Cright)%5C%5C%0A%09%26%3Dr%5E2%5Cleft(%20%5Csin%20%5Calpha%20%2B%5Csin%20%5Cgamma%20%5Cright)%5C%5C%0A%09%26%3Dr%5E2%5Ccdot%202%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Calpha%20%2B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5Ccos%20%5Cfrac%7B%5Calpha%20-%5Cgamma%7D%7B2%7D%5C%5C%0A%09%26%5Cleqslant%20r%5E2%5Ccdot%202%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Calpha%20%2B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5Ccdot%201%5C%5C%0A%09%26%3Dr%5E2%5Ccdot%202%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%3D2r%5E2%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

当且仅当 $%5Calpha%20%3D%5Cbeta%20%3D%5Cgamma%20%3D%5Cdelta%20%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20$ 时，取得最大值.

因为 $r%5E2%2Bh%5E2%3D1$ ，所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09V_%7B%5Ctext%7B%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5%7D%7D%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%20h%5Ccdot%202r%5E2%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%20h%5Ccdot%202%5Cleft(%201-h%5E2%20%5Cright)%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dh%5Cleft(%201-h%5E2%20%5Cright)%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

令 $f%5Cleft(%20h%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dh%5Cleft(%201-h%5E2%20%5Cright)%20$ ， $h%5Cin%20%5Cleft(%200%2C1%20%5Cright)%20$ ，

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09f'%5Cleft(%20h%20%5Cright)%20%26%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cleft(%201-h%5E2%20%5Cright)%20%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dh%5Ccdot%20%5Cleft(%20-2h%20%5Cright)%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cleft(%201%2B%5Csqrt%7B3%7Dh%20%5Cright)%20%5Cleft(%201-%5Csqrt%7B3%7Dh%20%5Cright)%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

令 $f'%5Cleft(%20h%20%5Cright)%20%3D0$ ，得 $h%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ，

当 $h%5Cin%20%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D%20%5Cright)%20$ , $f'%5Cleft(%20h%20%5Cright)%20%3E0$ , $f%5Cleft(%20h%20%5Cright)%20%5Cnearrow%20$

当 $h%5Cin%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D%2C1%20%5Cright)%20$ , $f'%5Cleft(%20h%20%5Cright)%20%3C0$ , $f%5Cleft(%20h%20%5Cright)%20%5Csearrow%20$

所以 $f%5Cleft(%20h%20%5Cright)%20_%7B%5Cmax%7D%3Df%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D%20%5Cright)%20$ ，

选C.

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