度量空间的维数 1

设（X，d）是度量空间，U是X的子集族，令

meshU=sup【diamU；U∈U】称之为U的网格直径。

首先，我们给出下面的定理。

定理 9.3.1   设（X，d）是度量空间，则下列条件等价；

（a） dimX≤n

（b）X存在局部有限的开覆盖列 (Wk）k 使得对任意的k有

ordWk≤n，mesh Wk≤1/k  且cl（Wk+1)=【cl W ；W∈Wk+1】是Wk的重心加细。

对于X的两个覆盖 A，B，如果对任意x∈X，存在B∈B，使得st（x，A）⊂B，则称A是B的重心加细。

对于x∈X，设A是X的一个子集族。令 st（x，A）=st（{x}，A）=∪【A∈A;x∈A】称st(x，A）为点x关于集族A的星集。

（c）X存在开覆盖列(Wk)k使得对任意的k有  ordWk≤n，meshWk≤1/k且Wk+1是Wk的重心加细。

Katetov-Morita  定理      对任意的度量空间X，有IndX=dimX。

对于可分度量空间 X，dimX=IndX=indX

若X是度量空间，Y是X的子空间，则dimY=IndY≤dimX=IndX。

引理 若度量空间（X,d）存在由σ-局部有限的即开又闭集构成的基，则dimX=IndX≤0

引理   设（X,d）是度量空间，A，B是X中不想交的闭集对，Z⊂ X且IndZ≤0，则存在X中开集W使得A⊂W⊂clW⊂X＼B 且bdW∩Z=∅

定理   设X是度量空间，则下列条件等价；

（a）IndX=dimX≤n；

(b)  X存在一个σ-局部有限基B，使得对任意的B∈B有Ind bdB≤n-1；

(c)  X可写成不超过n+1个强0-维子空间之并。