手动开平方
话题：#数学# #算术#
小石头/文
大家在小学数学中一定都学过四则运算的计算方法，但是说到平方根计算方法，大家就不一定知道了。
实际上，早在秦朝，我国古代数学家就已经发现了，用算筹开平方的方法，这被记载在 《九章算术》中。后来，魏晋大数学家 刘徽，还在用 一张图（见图1）给出了 开平方的原理。
接下来，就让小石头 把 手动开平方的方法 介绍给大家。
■ 问题：设 A 是一个正整数，求 A的带余数平方根，即，求满足，
A = a² + r (r ≥ 0)
的 整数 a 和 r ，a 取最大值 。
● 当 A较小 时，我们可以从1开始，通过不断尝试，找到满足，
a²≤A＜(a+1)²
的正整数 a，就是所求平方根，然后计算出余数，
r = A - a² ①
● 当A较大时，用①方法，效率低下，这时可以考虑将 a 分为 a,b 两部分，设 b 部分的 位数为 n，则有，
a,b = a10ⁿ + b
进而，有，
(a,b)² = (a10ⁿ + b)² = a²10²ⁿ + 2(a10ⁿ)b + b² = a²10²ⁿ + ((2a)10ⁿ + b)b = a²10²ⁿ + ((2a),b)b
于是，可以考虑将 A 也分为 A,B 两部分，B 部分为 2n 位数，即有，
A,B = A10²ⁿ + B
这样，余数为，
r = A,B - (a,b)² = (A10²ⁿ + B) - (a²10²ⁿ + ((2a),b)b) = (A - a²)10²ⁿ + B - ((2a),b)b
其中，可以通过①方法求得 a 以及，
r₁ = A - a²
于是，有，
r = r₁10²ⁿ + B - ((2a),b)b = r₁,B - ((2a),b)b
至此，可以从1开始，通过不断尝试，找到使得，
((2a),b)b ≤r₁,B＜((2a),(b+1))(b+1)
的 正整数 b，从而 得到 平方根 a,b，最后计算出 余数，
r = A,B - (a,b)² ②
就可以了。
● 如果 A 还要大，则 可以将 a 分为 a,b,c 三部分，让 b和c 都是 n位，有，
a,b,c = (a,b)10ⁿ + c
同时，将 A 分为 A,B,C 三部分，让 B 和 C 都是 2n 位，有，
A,B,C = (A,B)10²ⁿ + B
然后，与上面类似，可求得，
r = (A,B - (a,b)²)10²ⁿ + C - ((2(a,b))10ⁿ + b)b
其中，可以通过②方法，求得 a,b 以及
r₂ = A,B - (a,b)²
于是有，
r = r₂10²ⁿ + C - ((2(a,b))10ⁿ + c)c = r₂,C - ((2(a,b)),c)c
最后，类似②方法，求得 正整数 c，从而得到 平方根 a,b,c 和 余数，
r = A,B,C - (a,b,c)²
★ 总结： 这样，对于任意大的正整数 A 都可分为 A₁,A₂,...,Aᵩ，其中 除了 A₁（小于等于 2n 位）外，其它 A₂,...,Aᵩ 都是 2n 位，同时 将 a 分为 a₁,a₂,...,aᵩ ，其中 除了 a₁（小于等于 2n 位）外，其它 a₂,...,aᵩ 都是 n 位，然后，
* 通过①方法方法 可以 计算出 a₁ 以及 r₁ = A₁ - a₁²；
* 归纳假设，已经计算出了 a₁,...,aᵢ₋₁ 以及 rᵢ₋₁ = A₁,...,Aᵢ₋₁ - (a₁,...,aᵢ₋₁)²，于是有，
rᵢ = (A₁,...,Aᵢ₋₁ - (a₁,...,aᵢ₋₁)²)10²ⁿ + Aᵢ - ((2a₁,...,aᵢ₋₁),aᵢ)aᵢ = rᵢ₋₁,Aᵣ - ((2(a₁,...,aᵢ₋₁)),aᵢ)aᵢ
用 ② 方法，可求得 aᵢ 以及 rᵢ；
通过归纳的方法，最终这求得，
平方根 a = a₂,...,aᵩ
余数 r = rᵩ
■ 问题：对于任意 正小数A，求平方根a。
☆ 可以将 A 分为 A₁,A₂,...,Aᵩ.Aᵩ₊₁,Aᵩ₊₂, ... 其中除A₁外，其它部分都是 2n 位数（小数位数若不够，可以补零），同时 将 a分为 a₁,a₂,...,aᵩ.aᵩ₊₁,aᵩ₊₂,...，其中除a₁外，其它部分都是 n 位数，然后按照 上面的归纳方法，递归到 需要的精度的 小数位数 e 即可，此时有：
a = a₁,a₂,...,aᵩ.aᵩ₊₁,aᵩ₊₂,...,aₑ
以上，就是手动开平方的原理。
实际运算中 取 n = 1，并使用竖式进行运算（见图2），
具体步骤如下：
⒈ 从小数点起，向两边，将A按照两位一组，分成 A₁,A₂,A₃,...,Aᵩ.Aᵩ₊₁, ...，其中 A₁ 可能不足两位；
⒉ 以 A₁ 为目标， 尝试 1 到 9，找到 满足：
◆ 乘方 小于等于 目标，即， a₁² ≤ A₁；
的 a₁ 最大值 ，并计算出余数 r₁；
⒊ 将 余数 r₁ 与 A₂ 拼在一起得到 r₁,A₂，以其为目标，尝试 1 到 9，找到 满足：
◆ 拼接 2×a₁ 后 乘以 自己 小于等于 目标，即，(2×a₁),a₂ × a₂ ≤ r₁,A₂ ；
的 a₂ 的最大值，并计算出余数 r₂；
⒋ 将 余数 r₂ 与 A₂ 拼在一起得到 r₂,A₂，以其为目标，尝试 1 到 9，找到 满足:
◆ 拼接 2×(a₁,a₂) 后 乘以 自己 小于等于 目标，即，(2×a₁),a₂ × a₂ ≤ r₂,A₂；
的 a₃ 的最大值，并计算出余数 r₃；
⒌ ... ...
...
□
图3 是一个实际的例子。
最后，用类似的原理，还可以 分析出来 手动开立方根 的方法，大家有兴趣可以自己试一试。
附录：
以上手动开平方算法的 JavaScript 代码描述如下，
（原本是法动态的，结果字数超了，所以 文章 和 代码 都写的比较乱，大家凑合看😁）
