随机过程-北太天元学习31

我们学习了态(state)，从一个态转移到另一个态可以用转移矩阵来描述
    x_{n+1} = A x_{n},
另外，我们还可以引入随机因素, 此时态是一个随机变量，我们用大写的X代替上面的小写的x，用X_n 表示n时刻的态, 例如
  X_{n+1} = X_n + Y,
其中 Y 是一个随机变量, 例如Y的样本空间S={-1,0,1}, 这是醉汉回家的那一节的例子， Y 的分布可以用P(Y=k)=1/3, k=-1,0,1 来描述。这里提到的态都是在不同的时间点上的态，而且时间点是离散取值的。

如果态X可以随着时间t 在某个时间区间上连续地变化，也就是X是时间的t 的函数，而是对于每一个时间t，X(t) 是一个随机变量, 这时候，我们已经 需要使用随机过程(随机过程是一个专有的数学名词)来建模了。随机过程是一种描述时间上随机变化的数学模型，可以看作是随机变量在时间上的演化过程。

我们可以这样给随机过程(stochastic process)一个简单的定义: 一个随机过程是一个随机事件X(t)的集合， 其中 t ∈ T ⊂ R, 对每一个时间t ∈ T, X(t) 是一个随机变量.  通常情况下，我们可以用t来表示时间, 通常取 T = [0, ∞).  我们可以把 X(t) 所有可能取值的集合 称为 状态空间(state space).

下面我们讲一个简单的随机过程的例子：泊松过程。 我们考虑泊松分布，参数是λ, 意味着每单位时间的发生事件平均数是数。在每一个时间t, 已经发生的时间数是一个随机变量X(t), 考虑t从0变到正无穷， 那么X(t), t \in [0,\infty) 是一个随机过程，具体来说，是一个泊松过程。

我们简单描述一下泊松过程，精确的定义这里就不再给出了。 我们取时间步长为h (认为h足够小),  在X(t) = k 的情况下，X(t+h) 可能取值 为 k 或者 k+1, 其中 X(t+h) = k+1 的概率是 λh (h充分小使得λh<1), X(t+h) =k 的概率是 1-λh.

模拟速率为λ的泊松过程, 首先初始化当前总体X(t=0)=0, 由于λ是每单位时间的平均事件数，因此E[X(t)]=λt是合理的。也就是说，对于给定的t值，在区间[0，t]中发生的预期事件数为λt。

我们还以前面讨论过的便民热线的问题举例。 假设每分钟λ=5个电话的速度进入便民热线。设X（t）是到时间t为止接收到的呼叫的数量, 那么X（t）是λ=5的泊松过程。
为了模拟十分钟内的来电，我们可以使用以下北太天元代码。最后两行用于绘制期望E[X(t)]=λt。我们应该看到，多次模拟的X(t)的值往往集中在这个期望E[X(t)]上.

%北太天元 模拟 随机过程
close all
clc
clear all

hold on
lambda = 5; % 泊松分布的参数, 含义：平均单位时间随机事件发生次数
h = .01; % 模拟的泊松过程是一个时间t的"函数"，每一个时间t映到一个随机变量
% 时间t属于区间[0,t终], 是连续取值的
% 数值模拟中，我们把[0,t终]剖分成小区间，区间长度 h 被设置为0.01;
%  
t终 = 10; % 设置最终时间
steps = t终/h; % 时间步数
t=linspace(0, t终, steps+1); %设点时间点
num模拟=10; % 模拟次数

for k=1:num模拟  % 对每一次模拟循环
    X=zeros(steps,1); % 给X 预先分配大小
    for i=1:steps %对每一个时间步循环
        if rand <= lambda*h % 如果一个事件发生(用生成随机数小于 lambda*h 判断)
            X(i+1)=X(i)+1;
        else
            X(i+1)=X(i);
        end
    end
    plot(t,X,'LineWidth', 4) %plot solution
    str(k) = string( sprintf('第%d次模拟',k) ) ;
end
plot(t, t*lambda, 'k', 'LineWidth',10) %对每一个时间t_i，计算X(t_i)的期望
xlabel('t')
ylabel('X(t)')
str(num模拟+1) = "随机过程的期望值";
legend(str,'Location', 'northwest');  %把图例显示在左上方
title("北太天元数值模拟随机过程")
hold off