平面几何题目分享（5）

（写在前面凑字数）本题集主要由我比较喜欢的平面几何题目组成，也包括一定量改编或自编题。一期的内容暂定为：上一期解答＋本期题目。由于信息有限，部分题目可能无法标注出处，如有必要可联系我。题目难度基本会保持在高联难度，有时也会出现一些较简单或较困难的题。（本题集无任何教育功能或目的，仅供娱乐）

上一期解答

4.如图，M，N分别为AB，AC中点，以BC为直径的圆交AB，CM，BN，AC于D，E，F，G。△FND的外心为O，△MEG的外心为P。求证：OAP三点共线。 

首先，由⊙（BC）提供的垂直可得出DMNG四点共圆（费尔巴哈圆）。此题可利用费尔巴哈圆解决。但对于没接触过竞赛的人，这道题就不那么“友好”了。那么，如何用较为初等的方法来证明它呢？

我们假装没看到MDGN四点共圆，⊙（BC）上的DEFG四点可带来海量的等角，CM，BN也是非常亲切的中线，唯独P,Q两点有点不接地气。那么，如何将这两点与已知联系起来呢？

这里，我们要用到一个很基础又常用的一对相似。

延长BE交⊙P于H，我们得到直径MH，△MGC∽△HGB，进而△HGM∽△BGC。由BDGC四点共圆，得到∠BCG=∠IDG。延长BA交⊙P于I，由对视角相等，我们得到△IGD∽△HGM。所以IG⊥DG

同理，LD⊥DG。于是，我们得到IG∥LD。进而△AGI∽△ALD，准确来说是位似，A为位似中心。而O，P分别是两三角形的外心，于是O经过位似变换的对应点就是P。所以OAP三点共线。

本期题目

5，如图，外心O，垂心H，⊙（AOH）再次交⊙O于E，OH再次交⊙（BOC）于F，求证：AO∥EF。

前段时间看到的题，挺喜欢的，一直没时间发，结果一拖就是半个月。。。（希望不算太晚）