4-PID算法中D的作用的实验研究

在前面的学习中，我们知道了如果Kp比较大，则由于PWM调制点比较迟，导致加热时间比较久，进而产生较大的超调。而在很多工业设备中，过高的温度是不允许的。比如一些纸浆机，过高的温度会导致设备/模具损坏，所以超调的抑制非常重要。那怎么样才能抑制超调呢？

 

我们来分析一下加热棒被加热时的特点。

 

1.当测量温度小于目标温度时，无论是比例项还是积分项，它们对有效加热时间的贡献都是正的，所以叠加后会延长整体的加热时间并进而导致温升过快--当然，我们考虑的是加热大于散热的情况。

 

2.当测量温度大于目标温度时。比例项和积分项都是负的，对有效加热时间的贡献是负的。

 

由加热棒的加热特点可知，我们需要对测量温度小于目标温度时的情况进行重点关注。当测量温度小于目标温度时，我们需要在PID的输出中增加一个对温度增加敏感的项，温度增加快，它的值就大，温度增加小，它的值就小，而且它起的作用和比例项、积分项的作用相反，也就是说它对有效加热时间的贡献是负的。

那该选项应该是怎么样的呢？下面我们结合图1来分析。

图1中为单纯比例项作用时的情况。由图可见

①当时间从1增加到2时，温度增加4°。

②当时间从2增加到3时，温度增加8°。

③当时间从3增加到4时，温度增加10°。

可以看到时间从1到4时，温度增加越来越快，所以抑制项也要越来越强，也就是说新增加的抑制项应该与温度的变化率成正比，即具有如下关系:

 

Dout = Kd’ * ΔEk/Δt    (1)

 

其中，Dout为抑制项的输出，Kd’为比例系数，ΔEk/Δt 为温度的变化率，(ΔEk = lastPv - Pv为前后相邻两次测量出的温度的差(温度的变化)，Δt为前后两次测量的时间差)。lastPv为上一次测量出的温度，Pv为当前测量出来的温度。

因为

ΔEk = lastPv - Pv                              (2)

    =( Sv - Pv) - (Sv - lastPv)

 

其中Sv-Pv为当前测量温度和目标温度之差。Sv - lastPv为上一次的测量温度和目标温度之差。所以ΔEk又可以写成

 

ΔEk =lastEk -Ek   (3)

 

该公式就是当前各大教材、各大网站给出的温差变化的公式。不过在本教程中，我们直接使用公式(2)而不是公式(3)。

 

下面我们回到式(1)继续讨论，如下：

①从t = 1到t = 2时，Dout = Kd’ * (32 - 34) /1 = Kd’*(-2);

②从t = 2到t=3时，Dout = Kd’ * (34 - 42)/1 = Kd’ * (-8);

由于通常情况下Kd’都设置为正值，所以升温时Dout的结果是一个负值，它对整体输出的贡献与Kp、Ki的相反--也即会对温度的增加起到抑制效果。

 

实际上，式(1)可以做如下变化

 

Dout = Kd’ * ΔEk/Δt = Kd’ * dEk/dt  (4)

 

由(4)式可以看到，这是一个微分方程，用于描述Dout变化趋势，所以Dout实际上就是微分项的输出，而Kd’为微分系数。

 

加入微分项后，PID的输出变为了式(5)的样子：

 

out = Kp * Ek + Ki * SEk + Kd *ΔEk   (5)

 

其中，Kd = Kd’/dt为重新定义后的微分系数。由于微分项和温度的变化率相关，所以它只能阻碍而不能阻止温度的变化。

 

下面我们假设Kd = 300，然后来看一下微分项的抑制效果。其中Kp = 2, Ki = 0，先去掉积分效果。

先来看没有微分项时的结果，如图1所示。

下面是增加微分项后的结果。

由图2可以看到，增加微分项后，能够有效抑制超调。但是在温度反转的时候由于微分项会非常大，所以反转非常困难，这时候就需要积分项的累积去抵消掉这个大的反转，使得温度能够回到目标位置。如果没有积分项，结果很可能是曲线一直发散(换句话说，如果看到曲线发散，大概率是微分太大了)。

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