烷烃同分异构体的计数问题(数竞生眼中的有机化学——组合计数)(part 1烷基计数)

(警告：本篇数学含量极高)(本系列非原创)

此文将以数学方法找出链状烷烃数量的递推方法。为此，我们将问题拆解为四部分：

1.烷基计数

2.标C的烷烃计数

3.标键的烷烃计数

4.烷烃计数

本篇讨论的是part 1：一个烷基CnH2n+1的同分异构体(我们不严格地借用这个词)的数量有多少个?

对于n较小的情形，我们可以直接计数(或背诵)：

n＝1，2，3，4，5……时，

“n基”的数量An＝1，1，2，4，8……

但当n很大时，计数就变得困难了。我们需要找到一种有效的计算方法(虽然它们其实很少派上用场)：

对于一个n基，我们关注自由端的C原子，会发现它连着3个烷基。(或一个H原子，我们将它视作0个C的烷基，A0＝1)

如果三者分别为a基，b基，c基(不妨设a≤b≤c)

那么当a＜b＜c时，An＝AaAbAc.这个结论用乘法原理是显而易见的。

当a＜b＝c时，An＝Aa(1/2)Ab(Ab+1)，这个结论稍显复杂，证明如下：

只需证b,c可取的情形有Ab(Ab+1)/2种。

已知b,c均能取Ab种，但结论不是Ab²，这是因为有些情形是重复的。

我们把全部情形编号为1,2,3……Ab，假如b取情形1，c取情形2，是一种情形。假如b取情形2，c取情形1，则又是一种。但二者显然是重复的。如何解决这个问题呢?

我们不妨设编号较大者为b，较小的为c，这样一来，它们就不能交换编号了。(注意二者可以同时取同一种情形)于是：

当b取1，c可取1，共1种

b取2，c可取1，2，共2种

……

b取Ab，c可取1，2，……Ab，共Ab种

总的情形数就有1+2+……+Ab＝Ab(Ab+1)/2，证完。

第三种情况是a＝b＝c时，An＝1/6Aa(Aa+1)(Aa+2)

这个结论要更为复杂了，不过上述思路仍适用：

设编号最大者为a，次大者为b，最小者为c

当a取到i，b,c都有i种取法，和前面类似，可知此时有i(i+1)/2种情形。总情形就是：

∑i(i+1)/2＝1/2(∑i²+∑i)(∑符号的定义见注释)

＝Aa(Aa+1)(2Aa+1)/12+Aa(Aa+1)/4

＝1/6Aa(Aa+1)(Aa+2)，证完

至此，我们完全解决了烷基的计数问题。下面举几例：

我们熟悉的n＝4(丁基)：

果然A4＝4，看来我们的理论是禁得起检验的。

那我们试着把口诀往下算一步：

课后作业：

1.复述一遍推导过程，有利于加深理解。

2.试计算A7，巩固所学。

3.思考题：

我们知道A7对应了C7H15Cl的个数，那么：

C7H14Cl2的个数是多少?C7H14ClBr呢?(也许是将来的番外)

————————朴实无华的分割线——————————

注释：求和符号∑，用于简写多项式求和。意义为：

好的，今天的有(组)机(合)化(计)学(数)小课堂就到这里，顺祝学习进步！( ˙˘˙ )