A-0-6矢量运算(2/2)

2023-08-28 13:22 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

0.6.4 矢量的分解

由矢量减法的定义，任意一个矢量 $%5Cvec%20a$ 都可以与另一个同单位矢量 $%5Cvec%20b$ 作差， $%5Cvec%20a-%5Cvec%20b%3D%5Cvec%20c$ .则 $%5Cvec%20a$ 可以表示成 $%5Cvec%20b%2B%5Cvec%20c$ 的形式，即任一个矢量都可以分解为另外两个矢量之和。

特殊的，当另外两个矢量相互垂直时，此时的分解称为正交分解，正交分解的计算比较方便。

如图， $%5Coverrightarrow%7BAB%7D%3D%5Coverrightarrow%7BAC%7D%2B%5Coverrightarrow%7BBC%7D$

借助坐标系，一个矢量可以写成 $%5Cvec%20A%3D%5Cvec%20A_x%2B%5Cvec%20A_y%2B%5Cvec%20A_z$ ，

或者 $%5Cvec%20A%3DA_x%5Cvec%20i%2BA_y%20%5Cvec%20j%2BA_z%5Cvec%20k$

0.6.5 转动矢量对时间的导数

假设一个矢量 $%5Cvec%20A$ 绕某轴转动，转动角速度为 $%5Cvec%5Comega$ ，下面我们分析一下该矢量对时间的导数。

几何表示

经过很短的一段时间 $%5Cvec%20A$ 转过一定的角度 $d%5Ctheta%3D%5Comega%20dt$ ， $%5Cvec%20A$ 变为 $%5Cvec%20A%2Bd%5Cvec%20A$ .其中 $d%5Cvec%20A$ 可以分解为 $d%5Cvec%20A_r%2Bd%5Cvec%20A_%5Ctheta$ ，两分量方向分别沿着 $%5Cvec%7Be_r%7D$ 和 $%5Cvec%20e_%5Ctheta$ ， $%5Cvec%7Be_r%7D$ 称为径向单位向量， $%5Cvec%20e_%5Ctheta$ 称为角向单位向量，角向习惯上沿逆时针。

然后分别算出 $%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20A_r%7D%7Bdt%7D%2C%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20A_%5Ctheta%7D%7Bdt%7D$ ，再相加即可。

代数推导：

由上图可知， $d%5Cvec%20e_r%3D%7Cd%5Cvec%20e_r%7C%5Cvec%20e_%5Ctheta%3D%7C%5Cvec%20e_r%7Cd%5Ctheta%5Cvec%20e_%5Ctheta%3D%5Comega%20dt%20%5Cvec%20e_%5Ctheta$

由于 $%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20e_r$ 的方向沿着 $%5Cvec%20e_%5Ctheta$ ，故有 $%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20e_r%7D%7Bdt%7D%3D%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20e_r%3D%5Comega%5Cvec%20e_%5Ctheta$

同理 $%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20e_%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%3D-%5Cvec%5Comega%5Cvec%20e_r$

由此可得：

$%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20A%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7Bd(A%5Cvec%20e_r)%7D%7Bdt%7D%3DA%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20e_r%7D%7Bdt%7D%2B%5Cdfrac%7BdA%7D%7Bdt%7D%5Cvec%20e_r%3DA%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20e_r%2B%5Cdfrac%7BdA%7D%7Bdt%7D%5Cvec%20e_r$

即

$%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20A%7D%7Bdt%7D%3D%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20A%2B%5Cdfrac%7BdA%7D%7Bdt%7D%5Cvec%20e_r$

其中包含两项，一项是转动的效果，另一项是沿着半径方向的增量。

0.6.6 练习

地球以角速度 $%5Comega$ 自转，一质点在纬度 $%5Cvarphi$ 上空 $h$ 高度处自由下落。物体只受到重力和地转偏向力，试求因科里奥利力引起的落地点的偏移方向和偏离距离 $%5CDelta%20l$ .已知科里奥利力的形式为 $F_c%3D-2m%5Cvec%5Comega%5Ctimes%20%5Cvec%20v$ ，其大小远小于重力。其中 $m$ 为物体质量， $%5Comega$ 为地球自转的角速度， $v$ 为物体相对地球的速度。