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高德纳箭号

在数学中，有的地方会给运算定义一个“级”，比如加法是一级运算，乘法是二级，幂是三级，那么为了推广到更高级，将幂写为以下形式

由此可以定义四级运算：

到这里更高级的运算不就出来了？（当然这样的定义仅能解释n为整数的情况）

这种表示法称为高德纳箭号表示法，虽然这与本期内容关系不大，但这种表示法在计算机数学中可能会被遇到，因此还是值得一提的，下面就进入正题了

无穷幂塔

幂塔，顾名思义就是用幂堆起来的塔，也就是

令  就成了无穷幂塔，下面我们将会研究使得它收敛的x的范围，由于考虑x取复数的话有点麻烦，所以本期仅仅讨论x取正实数的情况。观察上式，其实它就是由以下定义的数列  趋于无穷的结果：

据此可以来构造函数 来进行迭代，

第一步 先来讨论x>1的情况：

不难发现，若一直迭代下去，那么  就会收敛到  与直线  的第一个交点，因此便可以将  的收敛性转化为求以下函数的零点问题：

那么就先来找到它的单调区间吧，

于是便可得到（细节略去）：

 时， 递增

时， 递减

 在  时取最小值，又有  ，因此要让该函数有零点只需要令其最小值小于零，即

解得   ，再结合先前假设的  以及当 时幂塔显然收敛，可初步得到一个令  收敛的x的区间：

第二步 当  时:

从该图中可以得知，当  时似乎  总是收敛的，但是其实在图中也可以看出当角标n是奇数时  在  的左边，而n是偶数时则在右边，根据序列收敛的充要条件是其奇数子列和偶数子列收敛到相同极限，需要考虑这两个子列  （若是忽略掉了这个问题，就会得到了一个错误的收敛区间 ）

令 

于是便有

观察其图像：

发现  时  与直线  总有交点，因此进过无穷次迭代后并不会趋于无穷，但是，若它们的交点不止一个，它们的极限就会不相等，

因此再次将问题转化为了一个函数的零点问题：

因为  ，因此当它递减时必有有唯一零点，对a求导，得

令上式等于零，记  ，有

（#）

不难求得左式的最小值为  ，由此令

解得   ，于是便推出  时， 递减，即它有唯一零点，然后考虑    ，此时方程（#）有唯一解

 

解得  ，代入得

  

即它的最小值为零，所以此时同样有唯一零点，

接着考虑  ，此时方程（#）有两个解，记这两个解为  ，当

时， 递减，反之递增， 当  又是递增的，因此有

 

时， 递减，但是

所以此时  的零点不唯一

最后综合前面得到的结论，便可得：

使得  收敛的  的范围为 

又不难得到  是x的单增函数，所以它的值域为两个端点处的值，通过 

的零点，可以计算出无穷幂塔的值域

如果这个东西收敛到y，那么它其实就是方程  ，因此可以画出它的图像是这样的：