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A-0-1微元与小量(1/2)

2023-08-26 18:07 作者:夏莉家的鲁鲁  | 我要投稿

0.1.1 极限与微元

所谓微元法,是指物理量变化极小时,研究各变化量之间关系的一种方法。研究运动时,可以是一小段时间/位移,研究受力时,可以是一小段物体/质量。

高中第一次接触微元法,是在运动学部分,瞬时速度的定义。在数学上,当运动时间足够短时,某点附近的平均速度就严格等于该点的瞬时速度

%E2%80%8B%0A%0Av_%7B%E7%9E%AC%7D%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20t%5Crightarrow%200%7D%5Cdfrac%7B%5CDelta%20x%7D%7B%5CDelta%20t%7D

在运动学中,一旦我们取了一个极短的过程,就可以将曲线运动暂时看成直线运动,将匀变速直线运动暂时看成匀速直线运动,将变加速运动暂时看成匀加速运动,原因在于无穷小量的近似。

0.1.2 无穷小量的阶数

同阶无穷小和等价无穷小

%5Calpha%5Cbeta都是趋近于0的小量,当

%20%5Clim%5Climits_%7B%5Calpha%2C%5Cbeta%5Crightarrow0%7D%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Cbeta%7D%3Dc(c%E4%B8%BA%E5%B8%B8%E6%95%B0)

时,我们认为%5Calpha%5Cbeta差不多,称为同阶无穷小。特殊的,当c%3D1时,%5Calpha称为%5Cbeta的等价无穷小。

高阶无穷小和低阶无穷小

%5Clim%5Climits_%7B%5Calpha%2C%5Cbeta%5Crightarrow0%7D%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Cbeta%7D%3D0

我们称%5Calpha%5Cbeta的高阶无穷小,同理,当

%5Clim%5Climits_%7B%5Calpha%2C%5Cbeta%5Crightarrow0%7D%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Cbeta%7D%5Crightarrow%5Cinfty

%5Calpha称为%5Cbeta的低阶无穷小,特殊的,当

%5Clim%5Climits_%7B%5Calpha%2C%5Cbeta%5Crightarrow0%7D%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Cbeta%5Ek%7D%3Dc(c%E4%B8%BA%E5%B8%B8%E6%95%B0)

%5Calpha称为%5Cbetak阶无穷小。

习惯上,%20x%5Crightarrow0时, x称为一阶无穷小,同理,x%5E2称为二阶无穷小。

0.1.3 常见等价无穷小

  • x%5Csim%5Csin%20x%5Csim%5Ctan%20x;

简单证明:如下图,三者分别对应%5Coverset%7B%5CLARGE%7B%5Cfrown%7D%7D%7BCB%7DCDBE的长度,

%5Ctheta%5Crightarrow%200时,三者重合相等。

  • 1-%5Ccos%20x%5Csim%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2;

证明:1-%5Ccos%20x%3D1-(1-2%5Csin%5E2%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D)%3D2%5Csin%5E2%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D%3D2(%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D)%5E2%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2

  • (1%2Bx)%5En-1%5Csim%20nx;

证明:利用广义二项式定理,(1%2Bx)%5En%3D1%2BC_n%5E1x%2B%5Ccdots%3D1%2Bnx

  • e%5Ex-1%5Csim%20x;

证明:利用 定义(1%2Bx)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%3De%20可得。



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