A-0-1微元与小量(1/2)
0.1.1 极限与微元
所谓微元法,是指物理量变化极小时,研究各变化量之间关系的一种方法。研究运动时,可以是一小段时间/位移,研究受力时,可以是一小段物体/质量。
高中第一次接触微元法,是在运动学部分,瞬时速度的定义。在数学上,当运动时间足够短时,某点附近的平均速度就严格等于该点的瞬时速度
在运动学中,一旦我们取了一个极短的过程,就可以将曲线运动暂时看成直线运动,将匀变速直线运动暂时看成匀速直线运动,将变加速运动暂时看成匀加速运动,原因在于无穷小量的近似。
0.1.2 无穷小量的阶数
同阶无穷小和等价无穷小
设,
都是趋近于0的小量,当
时,我们认为和
差不多,称为同阶无穷小。特殊的,当
时,
称为
的等价无穷小。
高阶无穷小和低阶无穷小
当
我们称是
的高阶无穷小,同理,当
称为
的低阶无穷小,特殊的,当
称为
的
阶无穷小。
习惯上,时,
称为一阶无穷小,同理,
称为二阶无穷小。
0.1.3 常见等价无穷小
;
简单证明:如下图,三者分别对应、
、
的长度,
当时,三者重合相等。

;
证明:
;
证明:利用广义二项式定理,
;
证明:利用 定义可得。