维数论 2

定理

设X是正则空间，M为X的子空间，则indM≤indX；

若X是正规空间，则indX≤IndX

设X是正规空间，M为X的闭子空间，则IndM≤IndX；

设X是正规空间，M为X的闭子空间，则dimM≤dimX

定理  设X是正规空间，则IndX =0当且仅当dimX=0

定理 设X是正则的Lindelof空间，则indX=0当且仅当IndX=dimX=0

推论  对任意可分度量空间X，indX=0当且仅当IndX=dimX=0

一般来说，indX=0不能推出IndX=0.甚至存在度量空间X使得indX=0但IndX>0。

定义  设X是正则空间，若indX=0，则称X为0-维的。设X是正规空间，若IndX=0，则称X为强0-维的。

事实上存在紧空间X使得indX=IndX=2但dimX=1。