【零基础学经济Ep50】查漏补缺——数学基础（十二：同济常微部分）+经济概念日常梳理

今天先把同济教材上面二阶线性微分方程解的结构四个定理的证明解决，然后继续弹性部分的内容。

part 1 同济《高等数学》常微分方程部分

二阶线性微分方程——形如d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x）的微分方程。

——二阶线性微分方程又分为两种——

齐次方程——f（x）恒为0；

非齐次方程——f（x）不恒为0。

注意：

1. 这里的齐次方程不要和之前的齐次方程混淆，是两个完全不同概念；

2. 方法依然是常数变易法，但是二阶方程涉及到通解个数的问题，所以要先讨论解的结构：即解空间的内容。

我们说过，解的结构，涉及四个定理，我们聊过第一个的证明——

定理一：如果函数y1（x）与y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的两个解，那么y*=C1y1（x）+C2y2（x）也是该方程的解，其中C1与C2是任意常数。

证明：已知函数y1（x）与y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的两个解，即——

y1"+P（x）y1'+Q（x）y1=0；y2"+P（x）y2'+Q（x）y2=0；

由y*=C1y1（x）+C2y2（x），有y*"+P（x）y*'+Q（x）y*=[C1y1（x）+C2y2（x）]"+P（x）[C1y1（x）+C2y2（x）]'+Q（x）[C1y1（x）+C2y2（x）]=C1[y1"+P（x）y1'+Q（x）y1]+C2[y2"+P（x）y2'+Q（x）y2]=0，即y*也是该方程的解，证毕。

定理二：同济书上没给证明我们暂时不聊，之后会在《常微分方程》内容中详谈。

定理三：设y*（x）是二阶非齐次线性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）的一个特解，Y(x)是该方程对应的齐次方程的通解，那么y=Y（x）+y*（x）是二阶非齐次线性微分方程的通解。

证明：将y=Y（x）+y*（x）代入方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）——

[Y（x）+y*（x）]"+P（x）[Y（x）+y*（x）]'+Q（x）[Y（x）+y*（x）]=[y*"+P（x）y*'+Q（x）y*]+[Y"+P（x）Y'+Q（x）Y]=f（x）+0=f（x），即y是非齐次线性方程的解；

又Y作为齐次方程的通解，所以含有两个任意常数，所以y里面也含有两个任意常数，即y为原二阶非齐次线性微分方程的通解。

定理四：设二阶非齐次线性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）中，f（x）是两个函数之和，即y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）+f2（x），而y*1（x）与y*2（x）分别是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）与y"+P（x）y'+Q（x）y=f2（x）的特解，那么y*1（x）+y*2（x）就是原方程的特解——线性微分方程的叠加原理。

证明：将y=y*1（x）+y*2（x）代入原方程左端y"+P（x）y'+Q（x）y——

y"+P（x）y'+Q（x）y=[y*1（x）+y*2（x）]"+P（x）[y*1（x）+y*2（x）]'+Q（x）[y*1（x）+y*2（x）]=[y*1（x）"+P（x）y*1（x）'+Q（x）y*1（x）]+[y*2（x）"+P（x）y*2（x）'+Q（x）y*2（x）]=f1（x）+f2（x）=f（x），即y*1（x）+y*2（x）为原方程一个特解。

这就是同济书上，对二阶线性常微分方程的解的结构的四条定理的相关内容。

part 2 经济学概念——高鸿业

高鸿业《西方经济学》第二章第五节：弹性——

第五节引入弹性的概念——

弹性——一般来说，只要两个经济变量之间存在函数关系，我们就可用弹性来表示因变量对自变量变化的反应敏感程度。

弹性一般公式——弹性系数=因变量的变动比例/自变量的变动比例。

弧弹性公式——e=（ΔY/ΔX）（X/Y）——e：弹性系数，ΔX、ΔY变量X、Y的变动值。

点弹性公式——ΔX趋于0时，e=lim （ΔY/ΔX）（X/Y）=（dY/dX）（X/Y）——极限值。

供给的价格点弹性的几何意义——

A.线性供给函数——即图像为一条直线

1. 若线性供给曲线的延长线与坐标横轴的交点位于坐标原点的左边，则该供给曲线上任何一点的弹性都是大于1的；

2. 若线性供给曲线与坐标横轴的交点位于坐标原点的右边，则该供给曲线上任何一点的弹性都是小于1的；

3. 若交点恰好就是坐标原点，则该供给曲线上任何一点的弹性均为1；

4. 水平的供给曲线，曲线上所有的点弹性均为无穷大；

5. 垂直的供给曲线，曲线上所有的点弹性均为0。

B.非线性供给函数——图像为曲线——可以先过所求点作供给曲线的切线，其后的过程推导与线性供给曲线是相同的。

影响供给价格弹性的因素——

1. 时间：最重要因素——当商品的价格发生变化时，厂商对产量的调整需要一定的时间——

   a.在很短的时间内，厂商若要根据商品涨价及时地增加产量，或者根据商品的降价及时地缩减产量，都存在不同程度的困难，相应地，供给的价格弹性是比较小的；

   b.在长期内，生产规模的扩大与缩小，甚至转产，都是可以实现的，供给量可以对价格变动做出较充分的反应，供给的价格弹性也就比较大了。

2. 生产成本随产量变化而变化的情况——

   a.如果产量增加只引起边际成本的轻微的提高，则意味着厂商的供给曲线比较平坦，供给的价格弹性可能比较大；——产量增加，成本不增，扩大生产容易；

   b.如果产量增加引起的边际成本的较大的提高，则意味着厂商的供给曲线比较陡峭，供给的价格弹性可能比较小。——产量增加，成本增加，扩大生产难。

3. 产品的生产周期大小——

   a.在一定的时期内，对于生产周期较短的产品，厂商可以根据市场价格的变化较及时地调整产量，供给的价格弹性相应就比较大；

   b.生产周期较长的产品的供给的价格弹性就往往较小。

明天休息！