2023数分Day83(曲线积分1：对称性与参数方程法)

一、整体难度：比较简单，本节参数方程法直接套公式、利用对称性分析图像即可。

二、需要掌握的内容

1、第一型曲线积分和第二型曲线积分区别？

（1）积分对象不同

第一型曲线积分是对弧长积分，对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素；

第二型曲线积分是对坐标（有向弧长在坐标轴的投影）积分，对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素。

（2）应用场合不同

第一型曲线积分求非密度均匀的线状物体质量等问题，

第二型曲线积分解决做功类等问题。

（3）方向不同

第一型曲线积分，都是和方向无关的，对标量的积分。

第二型曲线积分，都是和方向有关的，对某种意义上的矢量的积分。

2、两个涉及sinx、cosx非常重要的积分公式及证明

积分公式一：

积分公式二：

3、第一型与第二型曲线积分的计算公式？

①要熟悉直角坐标系、极坐标系、参数方程系的计算公式；

平面：

空间：

②对于参数方程中，对于常见的圆（参考题7）、椭圆（参考题1）的参数方程要会写；

③熟悉Green公式（题7）

三、具体题目

这里要区分第一型和第二型曲线积分，

题2和题7是第二型曲线积分，

其余题目都是第一型曲线积分。

区分这一点很重要，可以通过弧长微分ds判断这是第一型曲线积分。

（一）第一型曲线积分

题1（暨南大学）

套公式，观察L，发现要会写椭圆的参数方程，还要算x和y的导数的平方和，然后算积分即可（算积分可能会利用凑微分，尽量让变量数减少来做）

题3（广西大学）

仍然是直接套参数方程的公式，转化为极坐标来做.

注意：化为极坐标之后由于是θ的求积分，所以得把r再化成θ的表达式来做，这一点很重要，最后的积分绝对值分两段来做。

题4（华中师范）

充分利用对称性将被积函数简化，利用轮换对称性，对这个曲线的方程式选择适当的变量来做极坐标变换。算积分可能涉及到一个重要的积分公式（如果会这个公式（见本节二、2“一个重要的积分公式”），可以简单些；如果不会做，也可以凑微分做）

题5（上海大学）

就是利用轮换对称性，在利用题干条件，算一下曲线积分即可（圆的周长公式C=2πr=πd,d为直径）

题6（东北师范）

由于题干已经给了参数方程和范围，所以直接套公式就可以了，很好算的。

（二）第二型曲线积分

题2（四川大学）

法一：联立方程求出交线后，写出单位法向量，利用一下Stokes公式，发现为0

法二：分两段做。

第一段：联立方程求出交线后，发现z=1/2,则dz=0，化简被积函数；

第二段：由于L关于xz坐标平面对称，且对称点处被积函数x+z取值相同，但dx符号相反，所以（x+z）dx的积分值为0.

最后二者相加，积分值为0

（注：这里由于是第二型曲线积分，积分是涉及方向的！！）

题7（吉林大学）

法一：先画图来看，L分成L1+L2,一段是半圆周，一段是直线，分别算，半圆周利用到圆的参数方程（这个要会），θ范围要写对.

注意这里题目是xydx，而不是xyds，所以写参数方程后，dx=d(a+acosθ）=-asinθdθ！！！而不是向弧长微分那样用x和y的导数平方和做，这一点很重要！！！

法二：先画图，利用Green公式，确定D的范围（即r和θ范围），算二重积分即可。