简单搞个积

我们来计算两个超几何函数的积分

先看第一个，因为是无穷区间上的广义积分而且还是平方的形式，可以考虑积分变换里面的卷积定理，这里我们采用梅林变换，因为超几何函数的梅林变换是很容易得到的。

这梅林变换利用2F1的积分表达或者拉马努金主定理就能得到。再利用梅林变换的卷积定理有

令s=c得到

带入数据得到第一题的结果

再来看3F2的这个积分，难度提升了不少，首先由拉马努金主定理给出梅林变换

那么利用卷积定理我们有

该问题的关键是如何计算这无穷高直线上的积分，也许会想到像处理barnes积分一样，但是这个地方不好计算，但是注意到γ的选取是任意的，通过待定系数法很容易找到最合适的γ=1/4

于是积分可写为

注：

梅林变换的卷积定理:

对于第二个积分能否直接和barnes积分一样使用留数计算呢？也就是直接计算积分

而存在的问题就是需要计算一个4F3以及二阶极点的留数，好像并不容易。