证明柯西中值定理
牛顿391、证明柯西中值定理
网友曾发表一篇关于柯西中值定理的文档。
…定、理、定理：见《欧几里得2》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…柯西中值定理：见《牛顿390》…
文档内容：
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
一、柯西中值定理
由拉格朗日中值定理知，在光滑曲线弧AB上至少有一个点C，在该点处的切线平行于弦AB。
…拉格朗日中值定理：见《牛顿376~389》…
…切、线、切线：见《牛顿288》…
考虑用参数方程来表示曲线弧AB。
…参、数、参数：见《欧几里得114》…
…方、程、方程：见《伽利略53》…
（…《伽利略》：小说名…）
设曲线弧AB的参数方程为：x=F（x），y=f（x） a≤x≤b
其中x是参数，于是曲线弧AB上各点（x，y）处的斜率为：dy/dx=f’（x）/F’（x）
…斜、率、斜率：见《牛顿289》…
…d：differential（微分）首字母…
[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。
adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。
——《牛顿321》
dx什么意思？？——网友提问
2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。
dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。
dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。
——《牛顿3》]
弦AB的斜率为：[f（b）-f（a）]/（b-a）
从而，可得：
柯西中值定理
如果函数f（x）及F（x）满足：
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
（1）在闭区间[a，b]上连续；
…连、续、连续：见《欧几里得44》…
（2）在开区间（a，b）内可导；
…可导：若f（x）在x0处连续，则当a趋向于0时，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在极限，则称f（x）在x0处可导…见《牛顿360》…
（3）F’（x）和f’（x）不同时为0；
（4）F（a）≠F（b）
则在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使得
[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f’（ξ）/F’（ξ）
…ξ：大写Ξ，小写ξ，是第十四个希腊字母，中文音译：克西。
小写ξ用于：数学上的随机变量…
几何解释：
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
在曲线弧AB上至少有一点C[F（ξ），f（ξ）]，在该点处的切线平行于弦AB。
拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例。
当F（x）=x，
→F（b）-F（a）=b-a，F’（x）=x’=1
∴ [f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f’（ξ）/F’（ξ）
→[f（b）-f（a）]/b-a=f’（ξ）
证：作辅助函数Φ（x）=f（x）-{f（a）+[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]·[F（x）-F（a）]}
=f（x）-f（a）-[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]·[F（x）-F（a）]。
…Φ：第21个希腊字母。
音标 /faɪ/。
大写Φ，小写φ。
小写时左上角的弯是开口的；而用作符号时，有时也写成一个缩小了的大写Φ的形状…
（…符、号、符号：见《欧几里得160、161》…）
Φ（x）满足罗尔定理的条件。
…罗尔定理：见《牛顿367~375》“罗尔中值定理”…
…条、件、条件：见《牛顿280》…
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得Φ’（ξ）=0。
即f’（ξ）-[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]·F’（ξ）=0
∵ F’（ξ）≠0 [否则F’（ξ）=0，f’（ξ）=0与（3）矛盾]
∴ [f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f’（ξ）/F’（ξ）
“在柯西中值定理中，若取g（x）=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。
请看下集《牛顿392、柯西中值定理与拉格朗日中值定理的联系》”
若不知晓历史，便看不清未来
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