微观经济学1

2020-03-20 14:40 作者:露保协 0人读过 | 我要投稿

前几节课内容简单做一个笔记。作为学数学物理化学生物出身的人，理解可能会比较奇异。本文是消费者行为理论的一部分。

市场

建模。经济学的建模跟物理、生物里没什么本质性区别。模型里的变量又分为外生变量和内生变量。打个比方，细胞的calcium dynamics，就可以把外界恒定的钙浓度作为外生变量，内部变化的浓度作为内生变量。

经济学两个基本的framework就是：1.最优化原理（maximize u(x) subject to ...）；2.均衡原理。前者刻画的是人的行为，可以说是人行为的基础，但是逻辑上更好的说法也许是从人的行为定义出的最优化？不管怎样，它用于描述人的行为。打个比方的话，它就是Maxwell方程。后者，有点像导体在静电场中的电荷分布，我们只研究均衡后的结果，而不讨论达到均衡的过程，达到的过程假设比较短。类比于电磁学，它就是导体的平衡假设。它是一个额外的假设，不是本质性的（相比于Maxwell方程），但是在分析中是必要的。

我把前者叫做第一类原理，后者叫做第二类原理。前者包括最优化原理，Maxwell方程，流的守恒律等等。后者包括静电平衡假设，电介质的刻画方式，胡克定律，Fick定律，均衡原理等等。

结合上面两个原理，就有经济学里面最常用的比较静态分析。供给曲线和需求曲线是最优化原理的结果，而二者交点则是均衡原理的结果。

比较静态分析中的两条线对应的是消费者行为和生产者行为，所以微观经济学的理论可以分成这两个部分。每条曲线的来源都是最优化原理，而两条曲线放在一起分析则利用了均衡原理。

竞争性市场/垄断市场。垄断的分析也是基于利益最大化。垄断者制定价格，会让自己的收益（矩形面积）最大，此时垄断价格会高于均衡价格。（这张图是普通垄断，也就是制定固定的价格，而没有价格歧视，后者叫做歧视性垄断）

垄断和竞争市场在数学上如何区分？关键在于，一个是price-maker，一个是price-taker。对于完全竞争，如果大家都定价格p，你的价格高于p，你就完全没有收益，所以在价格面前是完全被动的。这是一个极端。另一个极端是一家独大的垄断，商家对于价格是完全主动的。在两个极端之间，比如寡头竞争，商家对于价格不完全主动，有自己的操作性，但还要看与其它商家的博弈。总的来说，这个连续统是按照对于价格的主动性来划分的。

Pareto效率。它来源于数学中向量（或者跟一般地说，函数）的比较。两个实数，我们能够很容易判断哪个大哪个小。但是函数就不行了，除非有uniform的大小关系，否则在某些段上f大，某些段上g大。社会问题包括很多individual，他们的效用就是一个巨大的向量，在所有可能的状态中，选出一个uniformly optimal的状态基本是不可能的（这也就是统计学中MSE的optimality）。那么怎样的状态比较好呢？标准就是Pareto效率，在统计里叫做admissible，也就是不存在一个risk function一致地低于你这个。其它risk function，要么一致地比你大，要么相交。这个admissibility相当于无法optimal的时候的一种妥协，它当然不只一个，其“前线”构成Pareto frontier。

Pareto效率相当于一个“最低要求”，如果一个社会状态不是Pareto效率的，做一个Pareto改进，人人喜闻乐见。而且要紧的是Pareto效率未必公平，所有钱都在一个人手上也是一个Pareto效率的状态。

统计学中的Bayes estimator，也就是把risk function按照一定权重积分后最小化，在经济学中称为Kaldor-Hicks效率（均匀权重）。这是一种把函数比较转化为数字比较的方式。如果不同人之间能够交换“效用”，Kaldor-Hicks效率可以转化为Pareto效率。不过这一般无法做到，特别是“效用”不是用钱衡量的时候。

一般的Bayes estimator，权重（prior）未必均匀，对应于说某些人的利益更重要，这不太好。

统计学中的minimax estimator同样是一种把函数比较转化为数字比较的方式，它在社会学上对应于罗尔斯的那套理论。

我们可以分析不同的市场是否是效率的。

首先是完全竞争。假设有n套公寓，均衡价格为p，租到的n人保留价格都高于p，其他人保留价格都低于p（刚刚好，因为是完全竞争），于是这是Pareto效率的。

然后是歧视性垄断。歧视性垄断（第一类价格歧视）的均衡点和完全竞争一样，租到的人还是那几个人，只不过他们花了更多的钱，而房东赚了更多。于是这是Pareto效率的。

最后是普通垄断。它不是Pareto效率的，因为可以做这样一个Pareto改进：把余下的公寓低价租给别人。（虽然这种做法不稳定）

上面只是一个短期租房市场（供给没有变化）的启示性分析。

预算约束

接下来开始正式构建消费者行为理论。最终的目的是需求曲线。

第一个原理说要maximize u(x) subject to condition(x)。这一节研究subject to，后面研究maximize。预算约束无非是

首先，我们一般只用两种商品来分析，把一种解释为感兴趣的对象，另一种解释为其它所有商品的总和（复合商品）。复合商品可以理解为花在其它所有商品上的钱数，所以价格就是1。这时候预算约束就变成：

我们来看看预算约束线的斜率有什么含义。它表示的是，想要多消费一些1，就必须少消费多少2，换句话说就是机会成本。

预算约束线的变动。

收入增加，向外平行移动。
商品价格变动，截距变动。

关于税收、补贴和配额。它们都会对预算约束线产生影响。

【从量税/从量补贴】

【从价税/从价补贴】

【定额税/补贴】

【配额】

偏好

这一节的理论，从数学的角度去理解，都是理所当然的。

对于消费选择问题，还是采取之前的二维构架。消费者的某种可能选择即消费束(x_1,x_2)。我们想要比较(x_1,x_2)与(y_1,y_2)中，某个人会选择哪一个。逻辑上来说，我们不知道消费者为什么认为一个消费束比另一个好，我们只是用偏好来描述这个结果。人的行为是最底层的。

从数学角度来说，我们想要在集合S={(x_1,x_2)|(x_1,x_2)满足预算约束}这个集合上定义一个二元关系（全序关系），这上面的序包括严格偏好\succ，弱偏好\succeq，以及无差异\sim。

既然是“全”序，首先要求它是完全的。也就是说，每两个消费束都可以比较。这个公理看起来trivial，实际上也许才是最要紧的，因为之前提到了，两个向量/函数是无法做比较的，除非“标量化”！现在两个消费束居然能够随便比较，这就暗示着它能够“标量化”，也就暗示着可以用“效用函数”去刻画。

第二，当然要满足序的传递性公理。(x_1,x_2)\succeq(y_1,y_2),(y_1,y_2)\succeq(z_1,z_2)，则(x_1,x_2)\succeq(z_1,z_2)。虽然在数学上一个序自然要满足，但是对于人来说传递性也许未必？比如石头剪刀布就不满足传递性，我们无法从中选出一个「最好的」。虽然如此，我们只研究满足传递性的“正常”消费者，这种不正常的消费者无法做出选择。

第三，这个全序还要满足自反性，即(x_1,x_2)\succeq(x_1,x_2)。这是个trivial的性质。但是自反性其实蕴含在完全性里边，所以为什么教科书上要单独把它列出来？不知道。我们就当他不存在也没事。

有了这三个公理，就可以建立起效用理论。第二步是无差异曲线，或者更一般地叫无差异集。

无差异集就是按照等价关系（\sim）把消费束所在的集合划分为等价类。事情到此就说完了！只有几个补充的remark。

不同等价类之间仍然有序关系。
等价类的作用就是把这个集合的结构弄清楚了。联想一下音乐里也会采取类似的操作。
上面的理论没有告诉我们无差异集应该是长什么样子的。实际上theoretically它可以长成任意样子，可以是曲线，也可以是高维的。但是经济学毕竟不是数学，还需要讨论一下常见的几种无差异曲线。见下一小节。

几种常见的无差异曲线。

【完全替代】即恒定的边际替代率。无差异曲线为负斜率的直线。

【完全互补】

【厌恶品】

【中性商品】

【饱和点】

【一般的well-bahaved的无差异曲线】公理并没有给出无差异曲线可能的形状的限制。但是一般我们只考虑well-behaved的无差异曲线，即满足：1.单调性，即多多益善，或者说到达饱和点之前（正常人很难有这么多资源到达饱和点），或者说无差异曲线单调递减。2.凸性，即边际替代率递减。这是为什么呢？凸性意味着我们偏向于两个一起要，而不是“挑食”地只选择大量的一个。这个假设当然不成立的例子有很多，不过毕竟对于更多情况适用，况且在数学上会比较方便，所以都在用。当然还是要看情况，如果一个例子不满足凸性也毫不意外。

边际替代率。在经济学原理中，MRS是边际效用递减的衍生出来的推论。但是现在我们看到，MRS比标记效用更加本质。

首先要搞清楚MRS到底是怎么定义的。x_2替代x_1的替代率为|dx_2/dx_1|，这个量和效用怎么定义无关，不管效用做什么单调变换它都是不变的（容易证明）。所以它刻画的是消费者在边际上的“交换率”。

偏好的凸性导致边际替代率递减。

关于边际替代率递减和边际效用递减。边际效用递减在道理上还是对的，一个东西越多，对再多一点就没有感觉了。但是毕竟基数效用的“幸福程度”是一个很虚的东西，所以这个道理用MRS递减来反映在比较“实”。假设A:B=1:1的时候，一个dA可以交换2个dB；但是A:B=10:1的时候，一个dA可能只能交换0.5个dB。所以MRS递减，亦或是说无差异曲线的凸性，本质上就是“边际基数效用递减”，虽然在现在的理论里序数效用的边际未必递减。

按照张维迎的说法，效用在根本上反映的是人的幸福程度。这个是“解释”意义上的，而且“幸福程度”本身没办法量化，所以这个解释是单向的，只能从效用解释到幸福，但不能从幸福构造出效用。如果从“构建”意义上来说，效用这个概念并不是一开始就存在的，它是从更基本的“选择”上构造出来的（用来“标量化”的数学工具）。这点是经济学原理上没有提到的。

效用

如上一节所言，我们仅仅把效用作为偏好（选择）衍生出来的一种方便处理的“标量化”数学工具。效用要紧的是谁高，而不是高了多少。以前是用效用推出偏好，现在效用只是一个又偏好衍生出来的工具。（这与一开始的理论是反过来的）

我们用的完全是序数效用理论。基数效用可以用来理解/阐释，但不用于构建。

一言以蔽之，就是完全性带来的标量化。效用的意义是在于序数，所以以下三种效用没有区别：

所以说，一个效用函数在单调变换（即严格单调递增的函数）下还是一样的。一个偏好对应于一个函数类的效用函数。

在经济学原理中，我们把无差异曲线当作效用函数的等高线，是一种直观的分析方式；但是现在我们知道，无差异曲线比效用函数更加本质。

数学上可以证明，只要偏好满足完全性和传递性，就存在对应的效用函数。

现在的问题是：既然效用函数可以任意做单调变换，那么边际效用（MU）递减还有意义吗？边际效用本身并不包含选择行为的信息。边际效用的比值，即边际替代率，才是有实际意义的。边际替代率递减代替边际效用递减才是比较好的（虽然后者能够推出前者）。按照我的理解，一句话来总结，“边际基数效用递减”是成立的，但是“边际序数效用递减”不成立，“边际基数效用递减”在序数效用理论里体现为无差异曲线的凸性假设。

更本质的说法。

对于所有连续函数，按照等价关系「能够通过单调变换互相转化」做等价划分，每个等价类都是一个效用。所以效用函数不是一个函数，而是一个等价类。平时我们说一个效用函数

但是这种说法严格来说其实是一个代表元，代表一个等价类：

这点要想清楚。

下面讨论几种特殊的效用函数（的代表元）。

【完全替代】

【完全互补】

【拟线性偏好】

【Cobb-Douglas效用】它的常用代表元有很多：

写成第二种齐次形式是最方便的，其中的a可以有直接的经济学含义。

选择

这一节是消费者的最优选择理论。图像是熟知的：

不过这种相切（称为interior optimum）在有些时候未必成立。比如：类似互补品的无差异曲线：

以及boundary optimum：

具体的计算直接上Lagrange乘子法就完事。

无差异曲线与预算约束线相切的经济学含义：如果MRS与预算的替代率不想等，比如说我们在不超过预算约束的条件下，能用1个dx换取两个dy，而减少一个dx的效用需要增加一个dy来补偿，那么总的效用就上升了。消费者在边际上，会选择移动目前的选择，直至相切点。

话说回来，在我看来基数效用理论并不是一无是处。它只是没法量化。在人类的各种感官里面，经常出现Weber-Fechner定律，也就是对数感知，它就是边际效用递减的来源。这种“感知”也不能严格地量化，但你不能说它就是错的，不然分贝的定义也是胡来了。所以建立从下到上的理论体系的时候也许不需要基数效用，但人的心理里面基数效用是存在的。

需求

消费者理论的最终结果，就是导出需求曲线，以及需求随着各个因素的变化。

首先是需求随收入的变化。正常来说需求随收入增加，称为正常品。

但是并不排除需求随收入降低，称为劣等品。

顾名思义，例子包括一些劣等的东西，收入升高之后人们会选择消费更优质的商品，而不是购买更多劣等品。

需求与收入的关系用恩格尔曲线表示。

然后是需求随价格的变化，得到的是需求曲线。分为普通商品和吉芬商品。后者在理论上存在，实际上不好说。

反需求曲线。也就是把需求曲线的自变量和因变量换了一下。单纯调换一下变量并没有什么意思，有意思的地方在于反需求曲线的经济学含义，即

Remark：我们规定一下MRS的方向，即1对2的MRS，或者2替代1的MRS，定义为

它对x_1是递减的。

之前所有的理论假设都是无限可分的。现在考虑一下离散商品，这时候很多连续情况下看不清的问题可以看清楚。

这时候无差异曲线是折线，如下图所示。

把good1的价格逐渐降低。则预算约束线会逐渐和某段无差异曲线重合。在这个价格，买1和不买1是无差异的。这个价格称为保留价格，也就是消费者愿意买一件商品付出的最大价格。要注意，之前我们定义保留价格是基于消费者对这个商品的内心价值判断，这个定义并不明确。现在保留价格被包含在偏好理论里被严格定义了。不过这个严格定义只对离散有效。

此时的需求曲线为：

购买一单位的保留价格为r_1，两单位的保留价格为r_2，以此类推。

显示偏好

这一节讨论的是逆问题：通过消费行为反推偏好。Reveal就是揭示出来。

为了解的well-posed性质，对于逆问题的求解加入regularization条件：凸性。

问题说白了就是这样的：input是消费行为，即一些线和一些点：

然后想要output出图上某些点之间的偏好关系（当然不用期待能把每两个点的偏好都确定下来，有限input下是不可能的）。

这种比较很好办：边界上的最优点肯定优于内部点：

这叫直接显示偏好。串起多个比较可以得到间接显示偏好：

input越多，对偏好的估计越准。

显示偏好的input并不是随便的，比如下图这个input就违背了偏好的公理：

所以要在input上加上一条公理规定：

这条公理只规定了直接显示偏好。如果加上间接偏好，就变成更强的公理：

WARP和SARP在技术上都是很容易验证的。那么问题来了，如果不满足，说明什么？我们可以说，要么消费者不是追求效用最大化，要么就是口味发生了改变。

Slutsky方程

价格对需求的影响。这个影响可以分为两个部分：替代效应和收入效应。收入效应就是平移，不用多说。替代效应有两种，Slutsky替代效应保持购买力不变，也就是直接绕着点旋转；而Hicks替代效应保持效用不变，也就是沿着原先那条无差异曲线保持相切地转。两种定义到底按照哪种，其实都无所谓，事先约定好就行。

假设商品1价格下降。替代效应一定使它消费增加，因为两个商品的价格比下降。而收入效应则可正可负，如果这是个比较极端的劣等品，收入增加会导致对它的消费下降很多，那么总的价格影响将导致商品1消费下降。所以吉芬商品必须是劣等品，并且非常劣等。