用泰勒公式解决2021年高考数学全国乙卷比大小

原题：

泰勒公式是高等数学中的一种 对函数近似 的工具（具体描述见此动态）。构造函数f(x)=ln(x)和g(x)=√(x)。则：

f'(x)=1/x

f''(x)=-1/(x^2)

f'''(x)=2/(x^3)

g'(x)=1/(2√x)

g''(x)=-1/4*x^(-3/2)

g'''(x)=3/8*x^(-5/2)

其中^符号为乘方符号

则根据泰勒公式，在x=x0处分别展开f(x)与g(x)：

f(x)

≈ln(x0)+f'(x0)(x-x0)+1/(2!)*f''(x0)(x-x0)^2+1/(3!)*f'''(x0)(x-x0)^3

=ln(x0)+1/x0*(x-x0)-1/2*1/(x0^2)*(x-x0)^2+1/6*2/(x0^3)(x-x0)^3

g(x)

≈√(x0)+g'(x0)(x-x0)+1/(2!)*g''(x0)(x-x0)^2+1/(3!)*g'''(x0)(x-x0)^3

=√(x0)+1/(2√x0)*(x-x0)-1/2*1/4*x0^(-3/2)*(x-x0)^2+1/6*3/8*x0^(-5/2)*(x-x0)^3

观察到a b c选项的x值都接近1（距离1的距离小于1），且f(1)与g(1)非常容易求值，故取x0=1：

f(x)

≈ln(1)+1/1*(x-1)-1/2*1/(1^2)*(x-1)^2+1/6*2/(1^3)*(x-1)^3

=(x-1)-1/2*(x-1)^2+1/6*2*(x-1)^3

g(x)

≈√(1)+1/(2√1)*(x-1)-1/2*1/4*1^(-3/2)*(x-1)^2+1/6*3/8*1^(-5/2)*(x-1)^3

=1+1/2*(x-1)-1/8*(x-1)^2+1/16*(x-1)^3

则：

ln(1.01)

≈(1.01-1)-1/2*(1.01-1)^2+1/6*2*(1.01-1)^3

≈0.01-0.5*0.0001+0.00000033

=0.00995033

ln(1.02)

≈(1.02-1)-1/2*(1.02-1)^2+1/6*2*(1.02-1)^3

=0.02-1/2*0.0004+0.0000027

=0.0198027

√(1.04)

≈1+1/2*(1.04-1)-1/8*(1.04-1)^2+1/16*(1.04-1)^3

=1+0.5*0.04-1/8*0.0016+1/16*0.000064

=1.019804

所以

a=2ln(1.01)≈2*0.00995033=0.01990066

b=ln(1.02)≈0.0198027

c=√(1.04)-1≈0.019804

所以a>c>b，故选B