先判断谁是顶角（2019课标Ⅲ，15）

2023-01-04 23:24 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2019课标Ⅲ，15）设 $F_1$ 、 $F_2$ 为椭圆 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B36%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B20%7D%3D1$ 的两个焦点， $M$ 为 $C$ 上一点且在第一象限.若 $%5Cbigtriangleup%20MF_1F_2$ 为等腰三角形，则 $M$ 的坐标为________.

解：设 $M$ 的坐标为 $%5Cleft(%20x_0%2Cy_0%20%5Cright)%20$ ，则

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Cleft%7C%20MF_2%20%5Cright%7C%26%3D%5Csqrt%7B%5Cleft(%20x_0-c%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%20y_0-0%20%5Cright)%20%5E2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Csqrt%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D-2cx_0%2Bc%5E2%2By_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Csqrt%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D-2cx_0%2Bc%5E2%2Bb%5E2%5Cleft(%201-%5Cfrac%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E2%7D%20%5Cright)%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7Ba-ex_0%7D%5C%5C%0A%09%09%5Cend%7Baligned%7D$

令 $f%5Cleft(%20x_0%20%5Cright)%20%3Da-ex_0$ ， $x_0%5Cin%20%5Cleft(%200%2Ca%20%5Cright)%20$ ，

易知 $f%5Cleft(%20x_0%20%5Cright)%20%5Csearrow%20$ ，

故 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%7C%20MF_2%20%5Cright%7C%5Cin%20%5Cleft(%20a-c%2Ca%20%5Cright)%20%7D$ ，

即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%7C%20MF_2%20%5Cright%7C%5Cin%20%5Cleft(%202%2C6%20%5Cright)%20%7D$ ，

故 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%7C%20MF_2%20%5Cright%7C%5Cne%20%5Cleft%7C%20F_1F_2%20%5Cright%7C%3D8%7D$ ，

故 $%5Cangle%20MF_2F_1$ 不是 $%5Cbigtriangleup%20MF_1F_2$ 的顶角；

若 $%5Cangle%20F_1MF_2$ 是 $%5Cbigtriangleup%20MF_1F_2$ 的顶角，则 $M$ 在 $%5Ccolor%7Bred%7D%7By%7D$ 轴上，亦不合题意；

综上所述: $%5Cbigtriangleup%20MF_1F_2$ 的顶角为 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cangle%20MF_1F_2%7D$ .

如图，过 $F_1$ 作 $F_1H%5Cbot%20MF_2$ ，垂足为 $H$ ，

因 $%5Cvert%20MF_1%20%5Cvert%20%3D%5Cvert%20F_1F_2%20%5Cvert%20%3D2c%3D8$

故 $%5Cvert%20MF_2%20%5Cvert%20%3D2a-8%3D4$

故 $%5Cvert%20MH%20%5Cvert%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cvert%20MF_2%20%5Cvert%20%3D2$ ，故

$%5Cvert%20F_1H%20%5Cvert%20%3D%5Csqrt%7B%5Cvert%20MF_1%20%5Cvert%20%5E2-%5Cvert%20MH%20%5Cvert%20%5E2%7D%20%3D2%5Csqrt%7B15%7D%20$

故 $y_0%3D%5Cfrac%7B%5Cvert%20F_1H%20%5Cvert%5Ccdot%20%5Cvert%20MF_2%5Cvert%20%20%7D%7B%5Cvert%20F_1F_2%20%5Cvert%20%7D%20%3D%5Csqrt%7B15%7D%20$ ，

故 $%5Cfrac%7Bx_0%5E2%7D%7B36%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%5Csqrt%7B15%7D%20%5Cright)%5E2%7D%7B20%7D%3D1$ ，

解得 $x_0%3D3$ ，

所以 $M$ 的坐标为 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(3%2C%5Csqrt%7B15%7D%20%5Cright)%7D$ .

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