很久没在阿b写知识类专栏了，今天就来个硬核的~

引子：

之前看到不少的常系数线性微分方程的题目，如：

基本上右边的函数都是诸如指数函数，三角函数，多项式函数之类的，过半都采用的是"观察法"，也就是揣测出特解的形式，然后设特解待定系数求之

但是这样的解法回避不了一个问题：“要依赖于经验/注意力”。我之前见到此类题也是按上述方法解的，直到我遇到了以下的一道题：

前面的步骤都行云流水，直到最后"求特解"的一步卡壳了！！！

于是对于仅依靠自学的小菜鸟的知识储备，瞬间遇到了瓶颈。同时也反思得知，这样仅依靠经验和观察解此类题范围是很局限的，因此笔者尝试把目标直接定到了"一般化"上：推导出特解的一般形式！

万分幸运的是，我成功聊~！！在网上看到的除待定系数外，有拉普拉斯(Laplace)变换、微分算子法等求解方法，这几种方法目前没学，有待以后再进一步研究。下面采用的是凑积分因子的推导方法，相信下面的这个方法应该相较于前面两种门槛更低些了

正文：

正好前面有讲到线性微分方程特征根的讲解，笔者的理解思路虽然奇葩了些，但绝对不会太抽象[滑稽]，读者可以先翻看之前写过的这篇文章

深探特征根的奥妙

，以便能良好地衔接~

我们同样采用的是特征根法，来推导的通解

通解=齐次通解+非齐次特解，而齐次通解用特征根法可求之，前面的专栏也证明过，此处对"齐次通解"不再赘述，把重点放在求特解上~

设特征方程的两根为，那么方程左边可以拆成以下的形式：

 or  

这时，相同颜色对应的部分，前者恰为后者的导数

ps:至于为什么可以拆成以上的形式内，前面链接中的那篇文章也提到了，所以才说看了前篇文章能很好地进行衔接~

于是令 ，则有：

到此应该就非常熟悉了，这就是一阶线性微分方程了呀，通解已经整出公式的了~

凑积分因子得：

ps:至于怎么个凑法?也是基础知识了，可以参考一阶线性微分方程通解公式的推导，本来也想在此详细写写的，但担心公式数目超出阿b专栏机制的限制，所以略过了，这个证明网上都有，读者可自行查阅

即

两边积分得：

由于是求特解，因此右边的两个积分取其中一个原函数即可

把积分因子乘到右边，然后u,v换回得：

这时将其视为关于y',y的一元二次方程组，解之即得特解y

大功告成！

对此我们发现，利用凑积分因子法解，关键是解出这两个积分

因此这就是"特解公式"中的重要核心了，这个方法可以推广到更高阶的线性微分方程的求解中(后文会有例题)，也即关键是求出所有不定积分，其中为特征方程的若干个根。

我们惊奇地发现，解这种常系数线性微分方程的题，可以转化为求不定积分呀！

虽然步骤会有些多，但是是一般化的方法嘛，情有可原！

回到前面的这题

特征方程

于是齐次通解为：

下面再利用上述方法求得特解：

原式变形得：

凑积分因子得：

到此，问题转化为求以下两个不定积分：

由于是求特解，故+C省略了

则

解关于y',y的线性方程组并整理得：

于是原方程通解为：

这个方法也可以用在更高阶的常系数线性方程组上，如：

特征方程的3根为：

于是齐次通解为

同时原方程可化为：

至于为什么能分解成这样，还是前面的链接文章中提及的多项式运算性质以及可类比性

凑积分因子得：

分别求积分

再将积分因子乘到右边，最后解3元一次线性方程组即得特解y

运算有些大，且有公式数目限制，这里就不详细解了，通过WA验证3个积分都是有初等解的，因此原方程一定也是初等解。掌握解题思路即可

掌握了这其中一种普适的方法，我们再上几道开胃菜

特征方程为

于是齐次通解为

下面求特解，特解如果没有经验，又瞪不出怎么办？给爷凑！

同时原方程可化为：

凑积分因子得：

这时，找右边的函数对应的原函数，也即求不定积分，这就是分部积分基础题了吧

两边积分得：

即

解关于y',y的一元二次方程组得特解：

于是原方程通解为：

ps:答案写的是，跟上面的结果是等价的，因为C1代表任意常数，因此后面的-2e^x项可以与前面的C1e^x合并

再来几道，掌握了核心，我们就可以在战略上进行藐视了~

特征根：

根据上文的分析，此题可转化了核心积分：

特征根：

根据上文的分析，此题可转化了核心积分：

ps:对于指数混三角的情形，可以用欧拉公式化为全部指数再取实部，不过这也就牵扯到复积分了~

复杂度加倍了！不过不用担心，还是常系数线性微分方程，同样藐视~[滑稽]

特征根：

根据上文的分析，此题可转化了核心积分：

总结以及拓展：

利用凑积分因子法，探索出了常系数线性微分方程的一般解法，这是笔者探索以来较大的成果之一(当然前面链接中的文章的构思更是经过了较久的构思才得以想出)

不足：

这个方法伴随着前面那篇专栏遗留的问题也到此也还尚未解决，也就是当特征根出现重根的特殊情况。看来"科研"的道路总是坎坷的，好不容易攻破了一扇壁垒又出来一座小丘，因此也先把问题遗留于此，望以后能解决掉这种特殊情况。

毕竟也是自行探索的，所以会遇到各种尚未解决问题，也望读者能谅解。倘若再解决了这种特殊情况，那么这种方法就能成熟地应用于所有常系数线性微分方程的求解中了。

当然可能有其他大神也已经将该法完备归纳了，也不出奇~

拓展：

另外，对于此类题，拉普拉斯变换、微分算子法也是很好的方法，感兴趣的网友可自行查阅资料了解~

另外，又翻看了两年前写的一篇专栏：

待定系数法背后的底层数学逻辑

这篇文章通过"形式分析"归纳出对于类积分的原函数通式，不得不说数学真的是个靠脑的科目[滑稽]，既需要充足的运算基础，又需要强大的分析逻辑。

这篇文章的评论区有一网友提及了"微分方程"一词，在现在看来还真有一些联系了！

一开始我提到了大部分都是用"待定系数"的方法，那么通过与上述法的融合，同样可以依靠"逻辑推理"准确地分析出特解的形式而摆脱"注意力"的依赖了，这个联系的话有空再出一篇文章进行讲解，这次的成果分享就先到此结束~

    Q.E.D