经典填坑行为。填一波不等式的坑。

这次要聊的不是具体的不等式而是一种证明方法。

1.核心定理

证明方法最核心的就是下面的一个定理：

对于的n元函数，

如果满足以下两个条件：

(1)若

则

(2)，

都有

则，

都有

好，是不是看蒙了？

别急，慢慢来。

这个定理告诉了我们一种证明

当自变量都≥0时，n元函数的函数值≥0

的方法。

它的第一个条件是该不等式对自变量等于0成立。这个有点类似于必要性探路了。

第二个条件才是我们重点要验证的。

在《不等式的秘密》里，它称一个n元函数的偏导数和

为n元函数f的全导数，记作[f]。

这个定义吧。。是一个合理的定义。但是它使用的名称另外感觉。。。怎么说呢。

全导数这个名称应该是已经被占用了（咱也说不清到底谁先的）。

一般我们的全导数指的是：

对于的n元函数，

其中都是关于x的一元函数，

这样的一个函数f实际上可以看做是关于x的一元函数，其对x的导数被称为全导数，记作。

在求法上我们有多元函数的链式法则：

对于常见的全导数来说也就是

显然，这两个全导数的定义并不一致。

所以在这篇专栏，我会称[f]为偏导数之和。

2.定理证明

这个定理看起来复杂但是它证明起来非常简单。

这个定理用起来也非常简单。(这个等下再说)

我们记

显然k作为中最小的值必定会等于某个自变量，我们设为。

构造函数关于t的一元函数

在这里我们把都看做了参数。

那么根据前面说的一般的全导数求法

而已知条件告诉我们[f]≥0

这样的话g(t)就是单调递增的函数了。

于是

这样的话你看，根据第一个条件(现在有一个自变量是0哦)，g(0)≥0。

因此对t≥0恒成立。

那么当时就是

证毕。

3.定理应用

在这个部分，因为都是举的经典的不等式的例子，所以第一个条件作为不等式的特殊情况咱就不验证了。

下面的不等式又是轮换对称的，所以你如果真的要验证第一个条件的话，只需要验证某一个自变量即可。

而这些不等式要么都是平方要么都是当某一个自变量是负数的时候很显然，所以他们虽然都对全体实数成立但只需要证明正数成立即可。

1.重要不等式

而[f]=0恒成立。

证毕。

2.排序不等式的特例

你可以用这个方法推广到n元。

而[f]=0恒成立

证毕。

这个不等式其实是在说次数集中的≥次数分散的。

emm这俩都是标准的[f]=0。下面来个[f]≥0的。

3.舒尔不等式

你也知道该怎么处理了吧。

然后你会发现

这个就是前面说的排序不等式的特例了。

但是它的话，当c=0的时候不等式成立也没有那么显然。

然后，诶嘿这里也是次数集中的≥次数分散的。

你不知道没事，继续求偏导和，那么你会得到前面说的重要不等式。

你可以试试用其他方法证明。

因为这个不等式精确度比较高，所以其实其他方法困难度会比这个高一些。

还有一些经典不等式例如柯西不等式等也可以用这个方法证明，这个就不用多说了。毕竟这个方法本身就足够简单了。