伽马函数

2023-06-07 23:30 作者:~Sakuno酱 0人读过 | 我要投稿

最近发现用伽马函数很容易出错原因就是没有完全理解伽马函数

首先给出伽马函数的定义

$%5CGamma(s)%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Bx%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-x%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D%20$

伽马函数的性质有

$%5CGamma(s)%3D(s-1)%5CGamma(s-1)$

如果让你计算

$%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Clambda%20xe%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20$ 其中 $%5Clambda%20%3E0$

很容易计算成

$%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20xe%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%5Clambda%20x$

$%3D%5CGamma(2)%3D1$

这个是肯定算错了

正确做法是

$%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20(%5Clambda%20x)e%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%5Clambda%20x%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%7D%20%5CGamma(2)%20$

类似的如果要计算

$%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Clambda%20x%5E2e%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20$ 其中 $%5Clambda%20%3E0$

则有

$%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Clambda%20x%5E2e%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%20%5E2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(%5Clambda%20x)%5E2e%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20%5Clambda%20x%20$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%20%5E2%7D%5CGamma(2)$

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