【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep29】实数世界（五）

昨天我们介绍了，正实数a的整数n次根的算术值的存在唯一性，即，正实数a的1/n次幂的存在唯一性，进而导出了，正实数a的有理数m/n次幂的存在唯一性。

而假如所求次数为无理数，我们可以用逼近的形式去求解所求根。

今天我们就来介绍，正实数a的任意实数次幂的存在性——

19以任意实数为指数的幂

书中先定义了任意大于1的正实数a的任意实数q次幂的定义——

定义依然用到了无限逼近下的相等的定义，提前剧透，其实就是极限思想的朴素表达法哦！

1. 我们已经定义了正实数的有理数次幂，故而对任意正实数a>1，我们可以求它的任意有理数次幂；

2. 对于任意实数q，必然存在两组有理数从两个方向无穷逼近它——对任意小正数*，存在有理数b和b‘使得，b'-b<*，b<q<b'；

3. 则对于实数g，满足对于任意的/所有的b和b’，满足a^b<g<a^b'，则g为所求a的q次幂，记作a^q。

接着书上就开始验证a^q的存在唯一性，分两步——

1.存在性

这里用到了我们之前提到的工具“确界原理”——数集有上界，必有上确界——同样，因为“确界原理”是从实数的“有理数分划”定义导出的，也可以用“有理数分划”的方法来证明：

1. 我们将所有a^b组成一个集合{a^b}，所有a^b'组成一个集合｛a^b'｝；

2. 显然，对于｛a^b｝里的所有元素都满足，小于｛a^b'｝中任何一个元素，所以｛a^b｝有上界；

3. 由确界原理，｛a^b｝必有上确界，我们记为g；

4. 由上确界定义，显然，对于任意的a^b和a^b'满足a^b<=g<=a^b'，

5. 因为b与b‘的取法——对于任意b0<q，总存在b，满足b0<b<q，同理对于任意b0'>q，总存在b'，b0'>b'>q，故而4中不等式等号总不能成立；

6. 于是a^b<g<a^b'，g满足定义条件。

故存在实数，满足大于1的正实数a的任意实数q次幂的定义。

2.唯一性

又用到了我们之前提到的那个精致的小命题——“无限逼近意义下的等于”——

相同的思想即可证明，s，s'，e是任意实数，上述命题依然成立。

接着就介绍了我们曾经提过的，在《数学分析》课程中很有用的伯努利不等式——

书上用到的是指数为自然数的情况——

如果n是大于1的自然数，如果m>1，那么——m^n>1+n（m-1）。

证明用到了牛顿二项式展开——

1. 因为m>1，所以m-1=l>0，m=1+l；

2. m^n=（1+l）^n=1+nl+……；

3. 省略各项均为正数，所以m^n-[1+n（m-1）]=……>0，即m^n>1+n（m-1）。

即所求不等式成立，这个不等式可以推广到指数为实数的范围，包括牛顿二项式展开也是，以后有机会我们会谈到，这里先记住这个很好用的不等式，之后我们还会一再用到。

下面证明唯一性——

1. 要证明仅有一个实数满足正实数a的q次幂的条件，等价于证明对于无限逼近q的有理数组b<q<b'，其中对于任意小正数*，b'-b<*，位于所有的a^b和a^b'之间的实数是唯一的；

2. 等价于去证对于任意小整数e>0，存在b和b'，满足a^b'-a^b<e；

3. 由于a^b'-a^b=a^b[a^(b'-b)-1]<a^b（a^*-1）；

4. 我们令m^n=a，则m=a^（1/n），其中a>1；

5. 由伯努利不等式，m^n>1+n（m-1），即a>1+n[a^（1/n）-1]，即a^（1/n）-1<（a-1）/n；

6. 我们用1/n代替3中的*，由5可得，a^b'-a^b<a^b[a^(1/n)-1]<a^b[（a-1）/n]=[a^b（a-1）]/n；

7. 对于任意的b0'，总存在b和b'满足，b<q<b'<b0'，对于任意的N，总存在n>N，即1/n<1/N；

8. 取定b0'，对于任意小正数e，我们只需要令n>a^b0'[（a-1）/e]，即有a^b'-a^b<[a^b（a-1）]/n<[a^b0'（a-1）]/[a^b0'[（a-1）/e]=e，所以位于所有的a^b和a^b'之间的实数是唯一的。

唯一性得证。

说明：

1.第8步显然是让分母取更小的数，分子取更大的数，所以小于号成立；

2.对于类似的证明看起来比较复杂，最好的办法是先背下来，以后再慢慢理解；

3.当然证明方法，放缩方法不止这一种，这样子做题其实更大的目的仅仅是为了介绍伯努利不等式这个工具，在《数学分析》课本上经常见到比较复杂的证明，其实仅仅是为了更早地引入一个更普适常用的方法罢了。

最后介绍了，实数的实数次幂的运算律和序。

今天就聊到这里，明天继续！