数量关系

小强在纸上写下一个七项等差数列10，11，12，13，14，15，16，然后每次随机挑选两个数字从纸上划去，并将他们的和减一之后的数值写在纸上，以此类推，纸上最后剩下的数字为多少？——操作步骤较少，可以采用枚举法，将数字两两分组，分成（10，11），（12，13），（14，15），16，每次划去一个组，剩下的数字为20，24，28，16，再将他们两两分组，划去之后，剩下的数字为43和43，划去之后，留下他俩的和减一，即85。

一个长方体由周长分别为26，58和68的长方形组成，现在长方体表面涂上一层漆，再切割成若干个棱长为1的小正方体，有多少个小正方体的表面没有涂漆？——假设长方体的三条边长分别为a，b，c，根据周长分别为26，58和68可得方程a+b=13，a+c=29，b+c=34，解得a=4，b=9，c=25，长方体的体积为4×9×25=900，切割成棱长为1的小正方体，可以切割成900个。有三个面涂了漆的小正方体，即长方体的顶点，共8个；有两个面涂了漆的小正方体，即长方体的边，共有2×4+7×4+23×4=128个；有一个面涂了漆的，即长方体外表面不在边缘的部分，共有（2×23+2×7+7×23）×2=442个。所以，没涂漆的小正方体共有900-8-128-442=322。

KPL王者荣耀职业联赛世界冠军赛的选拔赛于近期正式开始，选拔赛共分两轮，第一轮由历史积分较高的八支队伍分成四个小组进行七局四胜制的比赛，获胜的四支队伍可以直接进入正赛；失败的四支队伍进入第二轮与另外的6支候补队伍进行一场决胜负的单循环比赛，最终成绩排名前四的四支队伍获得进入正赛的资格。整个选拔赛最多要打多少场比赛？

 某硕士生导师派自己手下的五名学生前往四家企业实习，每家企业至少有一名学生前往，总共有多少种派遣方案？

有AB两项工程，甲工程队单独完成A项目需要9天，单独完成B项目需要11天。乙工程队单独完成A项目需要13天，单独完成B项目需要9天。7月1日，两支工程队开始工作，中间不停歇，最晚可以在几号交付任务？——甲乙工程队完成A工程分别需要9天和13天，可以赋值A工程总量为117，两队效率分别为13和9。完成B工程分别需要11天和9天，可以赋值B工程总量为99，效率分别为9和11。最晚可以在几号交付，也就是求工作时间的最大值，只需要效率最低，也就是让每个人去做自己不擅长的事情即可，所以安排甲去做B工程，乙来做A工程，甲完成B工程只需要11天，此时乙只完成了99，尚余18的工作量需要完成。由于中间不停歇，所以甲要来帮乙完成任务，两人效率之和为13+9=22，一天就可以完成，累计使用时间11+1=12天。

某高级中学要抽调语文老师和数学老师共三人参与高考阅卷，已知语文组有资质的老师有4男3女，数学组有资质的老师有3男4女。语文组男老师叶良辰另有工作安排，无法前往，每个科目至少抽调一人前往，那么至少有1名女老师的概率是多少？

 △ABC为等边三角形，O为三角形内部一点，分别连接AO，BO，CO，三条连线的长度分别为3，4，5，则∠AOB的度数为：——在BC下方选择一点D，并连接CD，BD，使得△ABO≌三角形CBD，如下图所示

由此可得，CD=3，BD=4，∠ABO=∠CBD，所以∠OBD=∠OBC+∠CBD=∠OBC+∠ABO=60°，则△OBD是等边三角形，∠ODB=60°，OD=4，所以△OCD的三条边长分别为3，4，5，为勾股数，可得∠ODC=90°。∠AOB=∠BDC=∠ODB+∠ODC=60°+90°=150°。

小张，小李，小王，小刘在期末考试中挂科的数量各不相同，且对这四个数字两两加和得到的六个数字恰好可以组成一个等差数列。那么四人挂科总数的最小值是多少？——假设四个人挂科的数量分别为a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，另假设等差数列的公差为k。可以确定的大小关系为a+b＜a+c＜b+c＜b+d＜c+d，不能确定的是b+c和a+d之间的大小关系。根据公差为k，可得a+c-（a+b）=k， （c+d）-（a+b）=5k，可算得c-b=k，d-a=4k。对b+c和a+d之间的大小关系进行分情况讨论。如果a+d<b+c，则a+d-（a+c）=k，得到d-c=k，b+c-（a+c）=2k，得到b-a=2k，四人挂科的数量可以表示为a,a+2k,a+3k,a+4k，当a=0，k=1时取得最小值，为9；如果a+b＞b+c，则b+c-（a+c）=k，a+d-（a+c）=2k，可得d-c=2k，b-a=k。四个人挂科的数量可以表示为a,a+k,a+2k,a+4k，当a=0，k=1时取得最小值，为7。

小张平时打车从顺义的家到北京南站需要1.5小时，最近由于北京进入汛期，道路湿滑，为保证行车安全，车辆的行驶速度降低了20%，与此同时，道路拥堵也让行驶时间额外增加了20%。已知高铁14:00准时出发，小张11点钟开始收拾行李，出门前瞥了一眼墙上的挂钟，时间和分针的夹角正好是140°，请问小张到达火车南站的最早时间是多少？——根据路程=速度×时间，路程不变时，速度与时间成反比。车速降低20%，即车速变成了原来的4/5，因此时间变成原来的5/4，拥堵还会额外导致时间增加20%，所以从家到北京南站的时间为90×5/4×1.2=135分钟，要想不迟到，肯定要在11.45之前出发。11点时，时针和分针之间的夹角为30°，出发时夹角变为140°，增加了110°，而分针时针的夹角每分钟增加5.5°，因此，出发的具体时间为11:20，135分钟之后到达南站，时间为13:35。

 某专业大二学生共216人，在开学选课时，可以选择A，B，C，D四门课程中的一门或多门，选课情况完全相同的同学会进入一个微信群。已知选了A课程的同学都没有选择C，选了B课程的同学都没有选择D，每个微信群人数各不相同且最少8人，那么只选了一门课的同学最多有多少人？——选了一门课的分别为选了A，B，C，D的同学，共四个微信群，由于AC不同时选，BD不同时选，所以选择两门课的有AB，AD，BC，CD四种情况，共四个微信群，并且不存在同时选三门课和四门课的情况，所以总共八个微信群。假设人数最多的群有x人，要想选一门课的人最多，就需要选两门课的人最少，所以选一门课的四个群分别有x，x-1，x-2，x-3，选两门课的四个群分别有8，9，10，11，共216人，解得x=46，所以选一门课的同学分别有46，45，44，43，共178人。

AB两组平分一堆梨，每组分得100多个，然后平均分发到每个组员的手中。A小组按照每人13个发放，最后一名组员只能拿到6个。B小组按照每人10个发放，最后一名组员只能拿到五个。两个小组分别有多少人？——根据条件A小组按照每人13个发放，最后一名组员只能拿到6个，说明梨的数量-6应该是13的倍数，满足这个条件的数字有110,123,136,149,162,175,188。根据第二个条件B小组按照每人10个发放，最后一名组员只能拿到五个，可知梨数-5是10的倍数，以上数字中满足条件的只有175。先给A组发放，最后一名组员6个，还剩169个，每人13个，可以发给13个人，因此A组有14人。给B组发放，最后一名组员5个，还剩170个，每人10个，可以发给17人，因此A组有18人。

半径为20cm的圆盘的一条直径两端，有两只蚂蚁分别以5.5cm/s和3.5cm/s的速度同时出发沿着圆周相向而行，1秒钟之后同时调头，爬行3秒之后又调头，爬行5秒之后再次调头，以此类推，调头的间隔为连续的奇数秒，当他们相遇时，总共用时多少秒？——我们可以简单的画一下蚂蚁运动的轨迹来寻找一下规律，如下图所示：